Phương pháp chỉnh hóa tikhonov cho bài toán ngược tuyến tính và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

————————–

NGUYỄN ĐỨC TỚI

PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA TIKHONOV

CHO BÀI TOÁN NGƯỢC TUYẾN TÍNH VÀ

ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

——————————–

Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM QUÝ MƯỜI

Phản biện 1: TS. Lương Quốc Tuyển

Phản biện 2: TS. Trịnh Đào Chiến

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Phân hiệu ĐHĐN tại Kon Tum vào ngày

26 tháng 08 năm 2017.

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Các bài toán ngược đã được đặt ra từ lâu, nhu cầu cần giải các bài

toán này là cần thiết và rất có ý nghĩa vì nhiều vấn đề khoa học, công

nghệ, kinh tế, sinh thái, v.v... dẫn đến việc giải các bài toán mà nghiệm

của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu, tức là một thay đổi nhỏ

của các dữ liệu có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn của nghiệm, thậm chí

làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô định [1,7]. Người ta nói những

bài toán như thế là bài toán đặt không chỉnh.

Do tính không chỉnh của bài toán mà đặc biệt là tính không ổn định

của nghiệm nên người ta phải tập trung tìm các phương pháp để chỉnh

hoá nó, nghĩa là tìm một nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục theo dữ kiện,

hay nói cách khác là khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm

được càng gần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu để có thể ứng dụng

tính số trong các bài toán cụ thể. Một trong những phương pháp quan

trọng để chỉnh hoá đó là phương pháp của Tikhonov.

Với nhu cầu muốn tìm hiểu cơ sở lý thuyết, các giải thuật và ứng dụng

của các bài toán ngược và trên cơ sở gợi ý của giảng viên hướng dẫn, tôi

chọn nghiên cứu đề tài: “Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov cho bài

toán ngược tuyến tính và ứng dụng” làm luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán ngược tuyến tính và phương pháp chỉnh hóa

Tikhonov để giải các bài toán ngược tuyến tính và ứng dụng phương pháp

vào giải một số các bài toán khác nhau.

3. Đối tượng nghiên cứu

- Bài toán ngược tuyến tính đặt không chỉnh.

- Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov.

2

4. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các bài báo, tài liệu liên quan đến bài toán ngược, bài toán

đặt không chỉnh và phương pháp chỉnh hóa Tikhonov.

5. Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập các bài báo và tài liệu khoa học của các tác giả nghiên cứu

liên quan đến phương pháp chỉnh hoá Tikhonov cho bài toán ngược tuyến

tính và các ứng dụng.

- Ứng dụng phần mềm toán học Mathlab, để giải các bài toán đặt không

chỉnh bằng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov đã được nghiên cứu.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng, có thể sử dụng luận

văn như một tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán và các đối

tượng quan tâm đến các phương pháp giải bài toán ngược.

7. Cấu trúc luận văn

Bố cục của luận văn bao gồm: mục lục, danh mục các ký hiệu, mở đầu,

nội dung chính, kết luận và tài liệu tham khảo. Nội dung chính của luận

văn được chia làm 3 chương:

Chương 1, chúng tôi trình bày lý thuyết cơ bản về bài toán ngược và

phương pháp chỉnh hoá. Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến

thức cơ bản của giải tích hàm, nêu bài toán ngược, bài toán đặt không

chỉnh và lý thuyết phương pháp chỉnh hoá.

Chương 2, phương pháp chỉnh hoá Tikhonov. Trong chương này, chúng

tôi sẽ trình bày toán tử chỉnh hoá Tikhonov, tính đặt chỉnh của toán tử

chỉnh hoá và tốc độ hội tụ.

Chương 3, nghiệm số và ứng dụng. Chương này dành cho việc trình bày

về ứng dụng của phương pháp chỉnh hoá Tikhonov để giải một số bài toán

cụ thể.

3

CHƯƠNG 1

LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ BÀI TOÁN NGƯỢC

VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HOÁ

1.1. KHÔNG GIAN HÀM

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là không gian tuyến tính trên trường số

thực R và ánh xạ

k.k : X → R

x 7→ kxk

thỏa mãn các tiên đề sau:

1) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X;

kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0.

2) kαxk = |α| kxk với mọi x ∈ X và với mọi α ∈ R.

3) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ X.

Khi đó, k.k được gọi là một chuẩn trên X, và cặp (X, k.k) được gọi là

không gian tuyến tính định chuẩn trên trường số thực R.

Giả sử (X, k.k) là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó, ánh xạ

d : X × X → R

(x, y) 7→ d(x, y) = kx − yk

là một metric trên X. Ta gọi d là một metric được sinh ra bởi chuẩn hay

chuẩn cảm sinh metric d trên X. Như vậy, không gian tuyến tính định

chuẩn là một không gian metric.

Không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) được gọi là không gian

Banach nếu nó đầy đủ với mêtric được sinh ra bởi chuẩn.

Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian vectơ trên trường số

thực R. Tích vô hướng trên X là một ánh xạ

h·, ·i : X × X → R

(x, y) 7→ hx, yi

4

thỏa mãn các tiên đề sau.

(i) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X.

(ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ X.

(iii) hαx, yi = α hx, yi, ∀α ∈ R, ∀x, y ∈ X.

(iv) hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ X,hx, xi = 0 ⇔ x = 0.

Khi đó, hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x, y và cặp (X,h·, ·i)

được gọi là không gian tiền Hilbert.

Ngoài ra, khi tích vô hướng h·, ·i đã được xác định rõ ràng, ta thường

ký hiệu không gian tiền Hilbert là X thay vì viết dạng đầy đủ (X,h·, ·i).

Định lí 1.1.3. Cho X là không gian tiền Hilbert. Khi đó, với mọi

x, y ∈ X ta luôn có bất đẳng thức |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính.

Định lí 1.1.4. Cho X là không gian tiền Hilbert. Khi đó,

kxk = hx, xi

1

2

, x ∈ X,

xác định một chuẩn trên X.

Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian tiền Hilbert (X,h·, ·i). Nếu X là

không gian đầy đủ với chuẩn k.k cảm sinh từ tích vô hướng, thì ta gọi X

là không gian Hilbert.

Định nghĩa 1.1.6. Cho X là một không gian Hilbert. Khi đó,

a) x được gọi là trực giao với y nếu hx, yi = 0. Ký hiệu x⊥y.

b) {xn} được gọi là hệ trực giao nếu các vectơ của nó đôi một trực giao

với nhau.

c) Cho M ⊂ X. Tập hợp M⊥ = {x ∈ X : hx, yi = 0, ∀y ∈ M} được gọi

là phần bù trực giao của M.

Mệnh đề 1.1.7. Đối với không gian Hilbert X, các khẳng định sau đây

là đúng.

5

a) Nếu x⊥ yi ∀i = 1, n, thì x⊥ α1y1 + α2y2 + ... + αnyn;

b) Nếu yn → y và x⊥ yn, ∀n ∈ R, thì x⊥ y;

c) M⊥ là một không gian con đóng của X;

d) Nếu x⊥ y, thì kxk

2 + kyk

2 = kx + yk

2

;

e) Nếu {xn} là hệ trực giao, thì P

∞

j=1

xj hội tụ ⇔

P

∞

j=1

kxjk

2

hội tụ.

Định lí 1.1.8. Cho X là một không gian Hilbert và M ⊂ X là một

không gian con đóng của X. Khi đó, với mỗi x ∈ X đều có thể được viết

một cách duy nhất dưới dạng x = v + w, v ∈ M, w ∈ M⊥.

Toán tử P : X → M định nghĩa bởi P x = v được gọi là phép chiếu

trực giao X lên M và có tính chất:

P v = v nếu v ∈ M; kx − P xk ≤ kx − v

0k , ∀v

0 ∈ M.

Định nghĩa 1.1.9. Một hệ {xn}n∈N

các phần tử của một không gian

Hilbert X được gọi là hệ trực chuẩn nếu

hxi

, xj i = 0, ∀i 6= j; kxik = 1, ∀i = 1, 2, ....

Mệnh đề 1.1.10. Cho {xn}n∈N

là một hệ trực chuẩn trong không gian

Hilbert X. Khi đó,

a) P

∞

j=1

|hx, xj i|2 ≤ kxk

2

, ∀x ∈ X (bất đẳng thức Bessel);

b) Với mỗi x ∈ X, chuỗi P

∞

j=1

hx, xj i xj hội tụ và



x −

X

∞

j=1

hx, xj ixj



 ⊥ xn, ∀n.

Định nghĩa 1.1.11. Hệ trực chuẩn {xn}n∈N

trong không gian Hilbert

X được gọi là hệ đầy đủ nếu x⊥xn, ∀n ∈ N ⇒ x = 0.

Mệnh đề 1.1.12. Cho {xn}n∈N

là một hệ trực chuẩn trong không gian

Hilbert X. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương.

6

a) {xn} là hệ đầy đủ;

b) x =

P

∞

j=1

hx, xj i xj

, ∀x ∈ X;

c) kxk =

P

∞

j=1

|hx, xj i|2

, ∀x ∈ X;

d) span {xn} = X.

Mệnh đề 1.1.13. Cho M là một không gian con đóng của một không

gian Hilbert X, {uj}j∈J ⊂ M là một hệ đầy đủ của M và P là phép chiếu

trực giao của X lên M. Khi đó, P x =

P

j∈J

hx, uji uj

, ∀x ∈ X.

Định nghĩa 1.1.14. Cho X và Y là hai không gian tuyến tính bất kỳ.

Ánh xạ A : X → Y được gọi là toán tử tuyến tính nếu:

(i) A (x + y) = A (x) + A (y), ∀x, y ∈ X;

(ii) A (αx) = αA (x), ∀x ∈ X, ∀α ∈ R.

Nếu A : X → R là một toán tử tuyến tính, thì ta nói rằng A là một

phiếm hàm tuyến tính.

Nếu A : X → Y là toán tử tuyến tính, thì ta thường viết Ax thay cho

A (x). Ngoài ra, ta ký hiệu

N (A) = {x ∈ X|Ax = 0} ;

R (A) = {Ax|x ∈ X} .

Khi đó, N (A) là không gian con của X và R (A) là không gian con của

Y . Ta nói rằng N (A) là không gian không điểm của A và R (A) là miền

giá trị của A.

Định nghĩa 1.1.15. Cho X và Y là hai không gian định chuẩn, một

toán tử tuyến tính A : X → Y được gọi là liên tục nếu với mọi x0 ∈ X

và xn → x0, ta có Axn → Ax0.

Định nghĩa 1.1.16. Cho A : X → Y là một toán tử tuyến tính liên

tục từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Khi đó, tồn tại