Phương pháp chỉnh hóa thưa cho bài toán xác định hệ số dẫn điện trong chụp cắt lớp điện trở kháng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MAI NGUYỄN MINH HOÀNG

PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HOÁ THƯA

CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ DẪN

ĐIỆN TRONG CHỤP CẮT LỚP ĐIỆN

TRỞ KHÁNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2021

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MAI NGUYỄN MINH HOÀNG

PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HOÁ THƯA

CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ DẪN

ĐIỆN TRONG CHỤP CẮT LỚP ĐIỆN

TRỞ KHÁNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn

TS. PHẠM QUÝ MƯỜI

Đà Nẵng - 2021

LOI CAM DOAN

Toi xin cam doan day la c6ng trlnh nghien CU'.U cua rieng t6i. Cac s6

li�u, k@t qua neu trong lui;i,n van la trung thl)'c va chua tll'ng dU'Qc ai c6ng

b6 trong b§,t kl c6ng trlnh nao khac.

Tac gia

Mai Nguy€n Minh Hoang

TRANG THONG TIN LUAN VA.N TRAC SI

Tend� tai: PHUdNG PH.AP CHINH HO.A THUA CHO BAI TO.AN

xAc D�NH H]t so DAN DI]tN TRONG CHlJP CAT LdP DI]tN

TRd KR.ANG.

Nganh: Toan Giai tich.

HQ va ten h9c vien: Mai Nguyen Minh Hoang.

Nguai hudng dan khoa h9c: TS. Ph9-m Quy Muoi.

Co scJ dao tc,1,0: Truong D9-i h9c Su ph9-m - D9-i h9c Da Niing.

Tom d.t: Xet. bai toan xac djnh M s6 dan di�n a trong phucmg trlnh elliptic:

- div(aV¢) = 0 trong D,

tu du: li�u bj nhieu cua toan tfr Neumann-to-Dirichlet.

(1)

Bai toan (1) da dtrQc chi' ra la bai toan di:\t khong chi'nh. Do tinh di:i,t khong chi'nh va du: li�u

nhieu thu duqc. nen bai toan tlm nghi�m s6 cho M s6 dan di�n a tu du: li�u nhieu la bai toan

khong 611 djnh va la bai toan riit kh6. Nghi�m s6 cho bai toan da ngay cang thu h(1t sv quan tam

cua nhi§u nha, khoa h9c va da c6 mot vai gia.i thu�t s6 duqc d§ xuiit. Trong h§.u h§t cac trtrang

hQp, nguai ta dua v§ bai toan t6i uu dl,1a tren pl1ltong phap blnh phtwng be nhAt va, sau d6 gia.i

bai toan b5.ng phUCfng phap Newton. Tuy nhien, ch§t lUQng cua anh phl).c hbi (nghi�m phl).c h6i)

thu dttQc van con kem va rAt khiem t6n khi so sanh v6i cac phtwng phap khac.

Bai toan (1) phat sinh tu nhi§u bai toan tht_rc t§. Ching hc_111 nhu xac djnh vj tri khong d6ng

nhAt ben trong cac d6i tuQng c6 do dan 11§11 da bi§t, tu'c la chung c6 khai triJn thua trong mot

CCf SC! nao d6 cua khong gian. Vf dl)., phat hi�n ca,c v§t nut hoi;ic bQt khi trong mot s6 v�t li�u xay

dl,1ng va phan bi�t mo ung thu cung thuoc loc_1i bai toan nay.

Vl tM, trong lu�n van nay, chung toi mu6n nghien cu:u Bai toan (1) v6i gia thi§t la M s8 dan

di�n a* dn du0c pht_1c h6i c6 tfnh th1ra. H011 nu:a, trong thvc t�, ch(mg ta chi' c:6 mot s6 do luang

hu:u hc_111 cho t�p du: li�u cua toan tfr Neumann-to-Dirichlet. Chinh vl v�y, chung ta nen sfr dl).ng

phu0ng phap ch111h h6a thua cho bai toan trong truang hQp nay.

Lu�n van da trlnh bay cac kifo thu:c CCf SC! lien quan; nghien cu:u bai toan thu�n trong chl).p ciit

16p di�n trcJ khang; nghien cu:u ba.i toan ngtrQc, phu0ng phap chinh h6a thua va sfr dl).ng Matlab

dJ gia.i ca.c vi dl). s6.

Tu kh6a: H� s6 dan di�n, chl).p dt 16p di�n trcJ khang, plnwng phap chinh h6a thtra.

Xac nh�n cua giao vien huong dan Nguoi thvc hi�n d� tai

TS. Ph,:lm Quy Muoi lVIai Nguyen Minh Hoang

1

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 3

BẢNG KÍ HIỆU 4

MỞ ĐẦU 5

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 9

1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian

Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Toán tử và một số khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Toán tử liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 Hàm nửa liên tục, hàm nửa liên tục yếu, hàm coercive 12

1.2.3 Hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.4 Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.5 Toán tử liên tục Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.6 Toán tử kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Toán tử khả vi Fréchet, dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Toán tử khả vi Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15