Phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc cho bài toán ngược đặt không chỉnh

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————

NGUYỄN THỊ QUÝ HIẾU

PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA

BỞI HÀM LỌC CHO BÀI TOÁN

NGƯỢC ĐẶT KHÔNG CHỈNH

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60.46.01.02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017

Công trình được hoàn thành tại

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐHĐN

——————————–

Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM QUÝ MƯỜI

Phản biện 1: TS. Lương Quốc Tuyển

Phản biện 2: TS. Trịnh Đào Chiến

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm

Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học

họp tại Phân hiệu Đại học Đà Nẵng tại Kon Tum

vào ngày 26 tháng 08 năm 2017.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Trong thực tế luôn tồn tại hai bài toán trái ngược nhau, một trong

hai bài toán đó được gọi là bài toán thuận và bài toán còn lại được gọi

là bài toán ngược. Người ta thường quy ước bài toán thuận là bài toán

đặt chỉnh và bài toán ngược là bài toán đặt không chỉnh.

Theo J. Hardamad, một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu nghiệm

của bài toán tồn tại, duy nhất và ổn định. Ngược lại, nếu nghiệm của bài

toán không thỏa mãn một trong các điều kiện trên, đặc biệt bài toán không

ổn định theo dữ kiện ban đầu, thì bài toán đó được gọi là đặt không chỉnh.

Khi nghiên cứu các mô hình toán học của các bài toán trong khoa học

và kỹ thuật, chẳng hạn bài toán tìm nghiệm của phương trình tích phân loại

một, bài toán tính xấp xỉ đạo hàm,. . . đều dẫn đến các bài toán ngược đặt

không chỉnh. Vì thế, các bài toán ngược đặt không chỉnh thu hút sự quan

tâm, nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới cũng như Việt Nam

và đã đạt được các kết quả khả quan. Tính đặt không chỉnh của bài toán

ngược, đặc biệt là tính không ổn định, dẫn đến việc tìm nghiệm số xấp xỉ

cho bài toán này rất khó khăn. Việc tìm ra phương pháp tìm nghiệm số

xấp xỉ của bài toán càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát khi

sai số của dữ liệu càng nhỏ, là một vấn đề vô cùng quan trọng.

Nhiều phương pháp giải bài toán đặt không chỉnh (mỗi phương pháp

được gọi là phương pháp chỉnh hóa) đã được nghiên cứu, trong đó phương pháp

chỉnh hóa bởi hàm lọc là một trong những phương pháp tốt giúp chúng ta

giải quyết các bài toán ngược đặt không chỉnh tuyến tính.

2

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc,

và được sự định hướng của thầy hướng dẫn TS.Phạm Quý Mười, tôi đã

chọn nghiên cứu đề tài: “Phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc cho

bài toán ngược đặt không chỉnh” cho luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu, nghiên cứu kỹ các tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau, lĩnh hội

được các kiến thức về phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc, phân tích

các thành phần chính, phân tích nhân tố của phương pháp. Ứng dụng

phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc để giải các bài toán ngược tuyến tính

cụ thể. Hy vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo

bổ ích cho sinh viên các trường Đại học, Cao đẳng.

3. Đối tượng nghiên cứu

Tập trung tìm hiểu khái niệm, các tính chất liên quan và trình bày các

kết quả một cách tường minh những nội dung sau:

- Bài toán ngược đặt không chỉnh.

- Phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc.

4. Phạm vi nghiên cứu

Tìm hiểu các khái niệm, định nghĩa, định lý liên quan, đưa ra ứng dụng

phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc để giải bài toán ngược đặt không chỉnh.

5. Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu một số tài liệu tham khảo liên quan đến đề tài, tổng hợp

được những vấn đề cơ bản nhất và thể hiện tường minh các kết quả đã

nghiên cứu trong đề tài. Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn để

cải tiến, thiết lập các kết quả tốt hơn.

3

• Sử dụng, phát triển các phương pháp đã có trong lý thuyết bài toán

ngược đặt không chỉnh cho việc nghiên cứu các phương pháp chỉnh hóa

bởi hàm lọc.

• Ứng dụng phần mềm toán học Mathlab để giải bài toán ngược đặt

không chỉnh bằng phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc đã nghiên cứu.

6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình

bày trong ba chương:

Chương 1 trình bày một số khái niệm và kết quả về giải tích hàm,

khái niệm bài toán thuận và bài toán ngược. Phát biểu định nghĩa về

bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh, đưa ra một số ví dụ minh

họa bài toán đặt không chỉnh.

Chương 2 trình bày về phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc để giải

bài toán ngược tuyến tính. Chương này cũng chứng minh các định lý và

tính chất về sự hội tụ và phân tích tốc độ hội tụ của phương pháp, sau đó

đưa ra một số trường hợp cụ thể của hàm lọc.

Chương 3 sử dụng phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc để giải một ví dụ

cụ thể về phương trình tích phân loại một. Trong chương này, chúng tôi

dùng phần mềm toán học Matlab để tính hệ kỳ dị và giải nghiệm của bài

toán đã cho. Sau đó, chúng tôi minh họa các kết quả về nghiệm số và

nghiệm xấp xỉ nhận được bởi phương pháp chỉnh hóa đã thực hiện trong

môi trường Matlab.

Luận văn có thể giúp các bạn sinh viên xem như tài liệu tham khảo

những kiến thức liên quan đến phương pháp chỉnh hóa bởi hàm lọc, bài toán

đặt không chỉnh.

4

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN HÀM VÀ LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ BÀI TOÁN

NGƯỢC ĐẶT KHÔNG CHỈNH

1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM

1.1.1. Không gian định chuẩn (Normed Spaces)

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian vectơ trên trường R.

Một chuẩn trên X là một ánh xạ

k.k : X → R

x 7→ kxk

thỏa mãn các tính chất sau:

1) kxk ≥ 0, ∀x ∈ X, và kxk = 0 ⇔ x = 0,

2) kαxk = |α|kxk, ∀x ∈ X, ∀α ∈ R,

3) kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ X.

Một không gian vectơ X trên R với chuẩn k.k được gọi là không gian

tuyến tính định chuẩn trên trường số thực R, kí hiệu (X, k.k) hay gọi

ngắn gọn là X, nếu k.k đã được hiểu rõ. Giả sử (X, k.k) là một không gian

tuyến tính định chuẩn. Khi đó, ánh xạ

d : X × X → R

(x, y) 7→ d(x, y) = kx − yk

là một metric trên X. Ta gọi d là một metric được sinh ra từ chuẩn

hay chuẩn cảm sinh metric d trên X. Như vậy, không gian tuyến tính

định chuẩn là một không gian metric.

Không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) được gọi là không gian

Banach nếu nó đầy đủ với mêtric được sinh ra bởi chuẩn.

5

1.1.2. Không gian Hilbert (Hilbert Spaces)

Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian tuyến tính trên R. Một

tích vô hướng trong X là một ánh xạ

h·, ·i : X × X → R

(x, y) 7→ hx, yi

thỏa mãn các tính chất sau:

1) hx, xi > 0, ∀x 6= 0,hx, xi = 0 ⇔ x = 0,

2) hx, yi = hy, xi, ∀, x, y ∈ X,

3) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R,

4) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ X.

Khi đó, hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y.

Không gian tuyến tính X trên R cùng với tích vô hướng h·, ·i trên được

gọi là không gian tiền Hilbert trên R, ký hiệu (X,h·, ·i).

Ngoài ra, khi tích vô hướng h·, ·i đã được xác định rõ ràng, ta thường

ký hiệu không gian tiền Hilbert là X thay vì viết dạng đầy đủ (X,h·, ·i).

Một không gian định chuẩn X trên R được gọi là một không gian

Banach nếu chuẩn k.k cảm sinh từ tích vô hướng. Một không gian tiền

Hilbert (X,h·, ·i) đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.

1.1.3. Chuẩn: Orthonormal

Định nghĩa 1.1.3. (Chuẩn: Orthonormal) Cho X là không gian

tiền Hilbert. Khi đó,

kxk = hx, xi

1

2

, x ∈ X,

xác định một Chuẩn (Orthonormal) trên X. Ta nói rằng kxk là chuẩn

sinh ra bởi tích vô hướng.

6

1.1.4. Hệ trực chuẩn: Orthonormal System

Định nghĩa 1.1.4. (Hệ trực chuẩn: Orthonormal System)

Một hệ {xn} các phần tử của một không gian Hilbert X được gọi là

hệ trực chuẩn (Orthonormal System) nếu:

(i) hxi

, xj i = 0, ∀i 6= j;

(ii) kxik = 1, ∀i ∈ N.

1.2. TOÁN TỬ BỊ CHẶN VÀ TOÁN TỬ LIÊN HỢP

1.2.1. Toán tử tuyến tính (Linear Operator)

Định nghĩa 1.2.1. Cho X và Y là hai không gian tuyến tính bất kỳ.

Ánh xạ A : X → Y được gọi là toán tử tuyến tính (Orthonormal

System) nếu:

(i) A (x + y) = A (x) + A (y), ∀x, y ∈ X;

(ii) A (αx) = αA (x), ∀x ∈ X, ∀α ∈ R.

Nếu A : X → R là một toán tử tuyến tính, thì ta nói rằng A là một

phiếm hàm tuyến tính.

Nếu A : X → Y là toán tử tuyến tính, thì ta thường viết Ax thay

cho A (x). Ngoài ra, ta ký hiệu:

N (A) = {x ∈ X|Ax = 0} và R (A) = {Ax|x ∈ X} .

Khi đó, N (A) là một không gian con của X, được gọi là không gian không

điểm của A, và R (A) là không gian con của Y , được gọi là miền giá trị

của A.

1.2.2. Toán tử liên tục (Continuos Operator)

Định nghĩa 1.2.2. Cho X và Y là hai không gian định chuẩn, một

toán tử tuyến tính A : X → Y được gọi là liên tục nếu với mọi x0 ∈ X,

và xn → x0, ta có Axn → Ax0.