Một số kết quả về đường tròn giao nhau và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————— o0o —————

HOÀNG ĐÌNH HIỆP

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐƯỜNG TRÒN GIAO NHAU

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN – 2021

Mục lục

Lời nói đầu 1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Một vài khái niệm, tính chất liên quan đến đường tròn . 4

1.2 Một số tính chất thường gặp trong lời giải các bài toán

liên quan đến đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Chương 2. Ứng dụng các tính chất của đường tròn giao nhau

vào giải toán 25

2.1 Bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy . . . . . . . 25

2.2 Bài toán chứng minh điểm cố định, đường cố định . . . . 34

2.3 Bài toán chứng minh tập hợp điểm cùng thuộc một đường

tròn, tìm tập hợp điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4 Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Kết luận 78

Tài liệu tham khảo 79

1

Lời nói đầu

Các bài toán về hình học phẳng mặc dù đã được nghiên cứu từ rất

lâu nhưng đến hiện nay vẫn luôn có sức hấp dẫn, là niềm đam mê của

nhiều nhà toán học trên thế giới, thu hút được sự yêu thích của các thầy

cô dạy toán và học sinh. Chúng thường xuyên xuất hiện trên các tạp

chí toán học, blog toán học, trong các đề thi học sinh giỏi hay kì thi

Olympic.

Trong hình học phẳng, các dạng bài tập liên quan đến các đường tròn

giao nhau luôn là các bài tập thú vị nhưng thường rất khó. Đặc biệt

là những bài toán, đề thi dành cho học sinh giỏi thì học sinh phải nắm

được các kiến thức nâng cao, đây là các định lý, tính chất và các phương

pháp chứng minh không có trong chương trình đại trà cũng như chương

trình nâng cao ở bậc phổ thông.

Trong thời gian vừa qua, đã có nhiều học viên cao học lựa chọn các

chủ đề về hình học để triển khai luận văn thạc sĩ những chưa có học

viên nào nghiên cứu một cách hệ thống về các bài toán chứng minh tính

chất liên quan đến các đường tròn giao nhau để phát triển thành luận

văn thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp.

Với mong muốn tìm hiểu các định lý, tính chất liên quan đến các đường

tròn giao nhau cũng như vận dụng các tính chất này để giải quyết một

2

số bài toán, đề thi học sinh giỏi để làm tài liệu cho việc giảng dạy của

bản thân và làm tài liệu tham khảo cho học sinh tự học, chúng tôi chọn

chủ đề: Một số tính chất liên quan đến các đường tròn và ứng dụng qua

việc giải một số bài toán, đề thi học sinh giỏi cho luận văn thạc sĩ của

mình.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2

chương, cụ thể:

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi hệ thống hoá các tính chất, định lý liên

quan đến các đường tròn. Trình bày về các tính chất hình học thuần

túy: Tiếp tuyến chung, trục đẳng phương, tâm đẳng phương. Một số

tính chất thường gặp trong lời giải các bài toán liên quan đến đường

tròn.

Chương này có tham khảo, chọn lọc trong các tài liệu [4], [5], [6], [7]

và các tài liệu về ôn, luyện đội tuyển học sinh giỏi Toán.

Nội dung bao gồm:

1.1. Một vài khái niệm, tính chất liên quan đến đường tròn.

1.1.1. Vị trí tương đối giữa hai đường tròn.

1.1.2. Phương tích.

1.1.3. Trục đẳng phương.

1.1.4. Tâm đẳng phương.

1.2. Một số tính chất thường gặp trong lời giải các bài toán liên quan

đến đường tròn.

Chương 2. Ứng dụng các tính chất của đường tròn giao nhau

3

vào giải toán

Trong chương 2, chúng tôi trình bày việc vận dụng các tính chất, kết

quả, công thức... liên quan đến các đường tròn giao nhau để giải một số

bài toán bài toán dành cho luyện thi đội tuyển học sinh giỏi và các đề

thi học sinh giỏi toán về hình học phẳng liên quan.

Chương này có tham khảo, chọn lọc các bài tập trong các tài liệu bồi

dưỡng học sinh giỏi, đề thi học sinh giỏi... trong nước và khu vực.

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học

Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trịnh Thanh Hải. Tác

giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy, người đã

dành nhiều thời gian, tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trong suốt

quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. Tác giả cũng xin bày tỏ

lòng biết ơn chân thành tới các Thầy Cô trong khoa Toán-Tin trường

Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy và giúp đỡ cho

tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THCS Nam

Sơn, Hải Phòng cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều

kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học. Đồng thời, tôi

cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các anh chị em học viên

lớp Cao học Toán K12B đã trao đổi, động viên và khích lệ tôi trong thời

gian học tập và trong quá trình hoàn thành luận văn.

Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021.

Tác giả

Hoàng Đình Hiệp

4

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.1 Một vài khái niệm, tính chất liên quan đến đường tròn

1.1.1 Vị trí tương đối giữa hai đường tròn

Cho hai đường tròn (O1; R1), (O2; R2). Khi đó, ta có 5 vị trí tương đối

của đường tròn (O1) và (O2) như sau:

- Trường hợp 1: O1O2 < |R1 − R2| ⇔ (O1),(O2) lồng nhau.

Hình 1.1:

- Trường hợp 2: |R1 − R2| < O1O2 < R1 + R2 ⇔ (O1),(O2) cắt nhau.

Hình 1.2:

- Trường hợp 3: O1O2 > R1 + R2 ⇔ (O1),(O2) rời nhau.

Hai đường tròn tiếp xúc nhau là trường hợp đặc biệt của hai đường

tròn giao nhau. Cụ thể ta có:

5

Hình 1.3:

- Trường hợp 4: O1O2 = |R1 − R2| ⇔ (O1),(O2) tiếp xúc trong.

Hình 1.4:

- Trường hợp 5: O1O2 = R1 + R2 ⇔ (O1),(O2) tiếp xúc ngoài.

Hình 1.5:

1.1.2 Phương tích

Bài toán 1.1. Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cố định, OM = d.

Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B.

Khi đó MA.MB = MO2 − R2 = d

2 − R2

.

Chứng minh. Ta có hình vẽ sau.

Gọi C là điểm đối xứng của A qua O. Ta có CB ⊥ AM hay B là hình

6

Hình 1.6:

chiếu của C trên AM. Khi đó ta có

MA.MB =

−−→MA.−−→MB =

−−→MC.−−→MA = (−−→MO +

−→OC)(−−→MO +

−→OA)

= (−−→MO −

−→OA)(−−→MO +

−→OA) = −−→MO2 −

−→OA2

= MO2 − OA2 = d

2 − R

2

.

Định nghĩa 1.1. Đại lượng không đổi MA.MB = d

2 − R2

trong Bài

toán 1.1 được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O), kí

hiệu PM/(O)

. Ta có

PM/(O) = MA.MB = d

2 − R

2

.

Tính chất 1.1. Cho đường tròn (O; R) và điểm M(x0; y0), khi đó ta có

i) Điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) khi và chỉ khi PM/(O) > 0.

ii) Điểm M nằm trên đường tròn (O) khi và chỉ khi PM/(O) = 0.

iii) Điểm M nằm bên trong đường tròn (O) khi và chỉ khi PM/(O) < 0.

Tính chất 1.2. Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O; R) và một điểm

M nằm bên ngoài (O). Qua M kẻ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MT

tới (O). Khi đó

−−→MA.−−→MB = MT2 = OM2 − R

2

.