Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-------------------------------

LÊ HỒNG LINH

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CỦA TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN ĐƠN TRỊ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC

1. TS. Trần Xuân Quý

2. TS. Đỗ Thị Phƣơng Quỳnh

THÁI NGUYÊN - 2021

Mục lục

Danh mục các ký hiệu viết tắt ii

Lời mở đầu 1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Một số khái niệm và kết quả trong không gian xác suất . . . . 4

1.1.1 Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Một số dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên . . . . 11

1.2 Một số kết quả về ánh xạ đa trị và toán tử ngẫu nhiên . . . . . 13

1.3 Một số kết quả về điểm bất động cho toán tử tất định . . . . . 17

Chương 2. Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị 21

2.1 Phương trình toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị . . . . . . . . . 34

Kết luận 42

Tài liệu tham khảo 43

i

Danh mục các ký hiệu viết tắt

N Tập hợp các số tự nhiên

R Tập hợp các số thực

R

+ Tập hợp các số thực dương

C[a, b] Không gian các hàm số liên tục trên [a, b]

L(X) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X

L

X

0

(Ω) Tập hợp các biến ngẫu nhiên X-giá trị

A,F σ-đại số

B(X) σ-đại số Borel của X

A ⊗ F σ-đại số tích của các σ-đại số A và F

2

X Họ các tập hợp con khác rỗng của X

C(X) Họ các tập hợp con đóng khác rỗng của X

CB(X) Họ các tập hợp con đóng khác rỗng và bị chặn của X

d(a, B) Khoảng cách từ điểm a đến tập hợp B

d(A, B) Khoảng cách giữa hai tập hợp khác rỗng A, B

H(A, B) Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp đóng A, B

Gr(F) Đồ thị của ánh xạ F

µ Độ đo Lebesgue

P Độ đo xác suất

p-lim Giới hạn của sự hội tụ theo xác suất

h.c.c. Hầu chắc chắn

ii

Lời mở đầu

Các nghiên cứu về định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên được

khởi đầu bởi O. Hans và A. Spacek trong những năm 1950 (xem [8]). Họ đã

chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, đó chính là phiên

bản ngẫu nhiên của nguyên lý ánh xạ co Banach. Sau các công trình của Spacek

và Hans, phiên bản ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động nổi tiếng khác

cũng được chứng minh. Lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên và điểm bất

động ngẫu nhiên thực sự được tiếp thêm sức mạnh sau sự ra đời của cuốn sách

Random integral equations (1972) và bài báo tổng kết Fixed point theorems in

probabilistic analysis (1976) của A. T. Bharucha-Reid (xem [6]). Nhiều tác giả

đã thành công trong việc mở rộng các kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên đã

có hoặc chứng minh phiên bản ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động cho

toán tử tất định (chẳng hạn, xem [9, 13]). Vào những năm 1990, một số tác giả

như: H. K. Xu, K. K. Tan, X. Z. Yuan đã chứng minh các định lý điểm bất động

ngẫu nhiên tổng quát, trong đó các tác giả chỉ ra rằng với một số điều kiện nào

đó, nếu các quỹ đạo của toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định thì toán

tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên (chẳng hạn, xem [10, 13]). Gần

đây, một số tác giả như N. Shahzad, D. O’Regan, R. P. Agarwal đã đưa ra một

số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộng các kết quả của các

tác giả trước và trên cơ sở đó phiên bản ngẫu nhiên của nhiều định lý điểm bất

động cho toán tử tất định đã được chứng minh. Nếu lớp các toán tử ngẫu nhiên

thỏa mãn các điều kiện của định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát là rộng

rãi thì việc ngẫu nhiên hóa các định lý điểm bất động cho toán tử tất định không

còn nhiều thú vị, việc chứng minh sự tồn tại điểm bất động của toán tử ngẫu

1