Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

TRẦN THỊ HUỆ

MỘT SỐ KẾT QUẢ MỚI VỀ TAM GIÁC

ĐỀU TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. TRẦN VIỆT CƯỜNG

Thái Nguyên - 2021

i

Mục lục

Danh sách hình vẽ ii

Danh mục ký hiệu iv

Lời cảm ơn v

Mở đầu 1

1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Một số điểm đặc biệt trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Một số định lý cơ bản trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng 15

2.1 Chuỗi sáu tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Tam giác đều kết hợp với hình thang cân gắn với các cạnh của

một tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Tam giác đều với điểm Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Tam giác đều với cấu hình L. Bankoff, P. Erds và M. Klamkin . . 22

2.5 Tam giác đều với một số bộ đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 Một số bài toán khác liên quan đến tam giác đều . . . . . . . . . . 30

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 38

ii

Danh sách hình vẽ

1.1 Hyperbol Kiepert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Điểm Fermat thứ nhất X13 và thứ hai X14 . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Điểm Miquel M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Định lý Naponeon gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Định lý Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Định lý Céva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Định lý Céva dạng Sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8 Định lý Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.9 Điểm Miquel M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.10 Tứ giác nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.11 Định lý Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 CJD là tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Tổng quát của định lý Napoleon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Các điểm Fermat tạo thành tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 ∆MNO là tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 A0B0C

0 và ABC thấu xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 Tam giác MNP đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7 Sáu điểm D, E, F, G, H, I nằm trên một đường tròn . . . . . . . . . 24

2.8 Sáu điểm D, E, F, G, H, I nằm trên một đường tròn . . . . . . . . . 26

2.9 A1B1C1 và tam giác Morley thấu xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.10 A0B0C

0

là tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.11 QL chia đôi AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.12 P A2 + P B2 + P C2 không phụ thuộc vị trí của P . . . . . . . . . . 31

2.13 P A2 + P B2 + P C2

, P A4 + P B4 + P C4 không phụ thuộc vị trí P . . 32

iii

2.14 MA = MT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35