Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-------------------------------

BÙI BÁ TÍCH

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CỦA TOÁN TỬ HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1. TS. Trần Xuân Quý

2. TS. Đỗ Thị Phương Quỳnh

THÁI NGUYÊN - 2021

i

Mục lục

Danh mục các ký hiệu viết tắt ii

Lời mở đầu 1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Biến ngẫu nhiên và một số dạng hội tụ của dãy các biến

ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 16

Chương 2. Điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 22

2.1 Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên . . . . . . . . 27

Kết luận 45

Tài liệu tham khảo 46

ii

Danh mục các ký hiệu viết tắt

N Tập hợp các số tự nhiên

R Tập hợp các số thực

R

+ Tập hợp các số thực dương

C[a; b] Không gian các hàm số liên tục trên [a; b]

L(X) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X

L

X

0

(Ω) Không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị

L

X

p

(Ω) Không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị khả tích cấp p

A,F σ-đại số

B(X) σ-đại số Borel của X

A × F σ-đại số tích của các σ-đại số A và F

2

X Họ các tập hợp con khác rỗng của X

C(X) Họ các tập hợp con đóng khác rỗng của X

H(A, B) Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp đóng A, B

Graph(T) Đồ thị của toán tử ngẫu nhiên T

P Độ đo xác suất

p-lim Giới hạn của sự hội tụ theo xác suất

h.c.c. Hầu chắc chắn

[x] Phần nguyên của số thực x

k.k Chuẩn

1

Lời mở đầu

Trong những năm đầu thể kỉ 20, các nguyên lý điểm bất động nổi tiếng

lần lượt ra đời trong đó phải kể đến là: nguyên lý điểm bất động Brouwer

(1912), nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) và định lý điểm bất động Schauder

(1930). Các kết quả này đã được mở rộng đối với các lớp ánh xạ khác nhau,

trong các không gian khác nhau và đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của

toán học. Ta có thể thấy ứng dụng trong việc giải quyết vấn đề tồn tại lời giải

của phương trình (toán tử, vi phân, tích phân, ...), trong các bài toán xấp xỉ

nghiệm, ...

Tiếp theo các kết quả trong trường hợp không ngẫu nhiên, rất nhiều vấn đề

về điểm bất động ngẫu nhiên đã được nghiên cứu. Vào giữa thập niên 1950, O.

Hans và A. Spacek ở trường Đại học Tổng hợp Prague đã khởi xướng những

nghiên cứu đầu tiên về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên và các vấn đề liên

quan1

. Các tác giả đã đưa ra các điều kiện đủ ban đầu để toán tử ngẫu nhiên

có điểm bất động ngẫu nhiên. Sau các công trình của O. Hans và A. Spacek,

một số dạng tương tự của các định lý điểm bất động tất định nổi tiếng khác cho

trường hợp ngẫu nhiên cũng đã được chứng minh. Cùng với việc nghiên cứu

các vấn đề về điểm bất động ngẫu nhiên, các vấn đề về phương trình toán tử

ngẫu nhiên cũng đã được quan tâm đến. Các nghiên cứu về phương trình toán

tử ngẫu nhiên là sự mở rộng, ngẫu nhiên hóa lý thuyết phương trình toán tử tất

định. Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đạt được của lý thuyết phương trình toán

tử ngẫu nhiên tập trung vào việc đưa về bài toán điểm bất động ngẫu nhiên để

chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm ngẫu nhiên.

1Hans O. (1957), "Random fixed point theorems", Trans. 1st Prague Conf. on Information Theory, Statist.

Decision Function, and Random process (Liblice, 1956), Czechoslovak Acad. Sci., Prague, pp. 105–125.

2

Một cách tổng quát, có thể xem toán tử ngẫu nhiên như một ánh xạ biến

mỗi phần tử của không gian metric thành một biến ngẫu nhiên. Bên cạnh đó,

ta coi mỗi phần tử của không gian metric như là một biến ngẫu nhiên suy biến

nhận giá trị là phần tử đó với xác suất 1. Với cách quan niệm như vậy, ta có

thể đồng nhất không gian metric X như tập con (gồm các biến ngẫu nhiên suy

biến) của không gian L

X

0

(Ω) các biến ngẫu nhiên X-giá trị. Từ đó, với mỗi toán

tử ngẫu nhiên liên tục f từ X vào Y ta xây dựng được một ánh xạ Φ từ L

X

0

(Ω)

vào L

Y

0

(Ω) mà hạn chế của Φ trên X trùng với f . Ngoài ra mối liên hệ giữa sự

tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của f và Φ cũng được thiết lập. Với mục đích

mở rộng miền xác định của toán tử ngẫu nhiên, trong [3] các tác giả đã đưa ra

khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, trong đó ánh xạ biến mỗi biến ngẫu

nhiên nhận giá trị trong không gian metric thành biến ngẫu nhiên nhận giá trị

trong không gian metric. Sử dụng các tính toán thuần túy xác suất, các tác giả

đã chứng minh được một số kết quả ban đầu tương tự như của O. Hadzic và E.

Pap về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

Trong phạm vi của luận văn thạc sĩ Toán học, tác giả tập trung trình bày lại

kết quả nghiên cứu về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Nội

dung của luận văn bao gồm định lý về sự thác triển toán tử ngẫu nhiên thành

toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, là cơ sở để xét đến các bài toán về điểm bất động

của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Cấu trúc luận văn gồm 2 chương.

Chương 1. Tác giả trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian xác

suất: biến ngẫu nhiên và sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên; toán tử ngẫu

nhiên và điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên. Các kết quả của chương này

được trích dẫn và bỏ qua chứng minh chi tiết.

Chương 2. Tác giả trình bày khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, định lý

thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, tính liên tục

theo xác suất của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Tiếp theo, chương này trình

bày các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của một số dạng toán tử hoàn

toàn ngẫu nhiên.

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, ngoài sự nỗ lực học hỏi