Một phương pháp lặp xoay vòng giải một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-------------------------------

VŨ MINH ĐỨC

MỘT PHƢƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG

GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-------------------------------

VŨ MINH ĐỨC

MỘT PHƢƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG

GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Trƣơng Minh Tuyên

THÁI NGUYÊN - 2019

ii

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trương Minh Tuyên, thầy đã

tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành

luận văn này.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, cùng các

thầy, cô giáo trong khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái

Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập,

nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo và các đồng nghiệp của Phòng Giáo

dục và Đào tạo huyện Tiền Hải, tỉnh Thái Bình. Nhân dịp này, tác giả xin gửi

lời chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viện, tạo điều kiện giúp đỡ

tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.

iii

Mục lục

Lời cảm ơn ii

Một số ký hiệu và viết tắt iv

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1. Một số đặc trưng của không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . 10

1.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert . . . 16

1.5. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Chương 2 Phương pháp lặp xoay vòng giải bất đẳng thức biến

phân trên tập điểm bất động chung của họ hữu hạn dãy ánh xạ

gần không giãn 21

2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Phương pháp lặp giải Bài toán (2.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1. Điểm bất động chung của các ánh xạ không giãn . . . . . 35

2.3.2. Điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn . . 37

2.3.3. Không điểm chung của các toán tử đơn điệu . . . . . . . . 41

2.4. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Kết luận 49

Tài liệu tham khảo 50

iv

Một số ký hiệu và viết tắt

H không gian Hilbert

X không gian Banach

h., .i tích vô hướng trên H

k.k chuẩn trên H

∪ phép hợp

∩ phép giao

R+ tập các số thực không âm

G(A) đồ thị của toán tử A

D(A) miền xác định của toán tử A

R(A) miền ảnh của toán tử A

A

−1

toán tử ngược của toán tử A

I toán tử đồng nhất

∅ tập rỗng

∀x với mọi x

∃x tồn tại x

xn → x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0

xn * x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0

F ix(T) tập điểm bất động của ánh xạ T