Một phương pháp lặp song song xấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ DINH

MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG

XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC

BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1. TS. Trương Minh Tuyên

2. TS. Phạm Hồng Trường

Thái Nguyên – 2020

ii

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trương Minh Tuyên và TS.

Phạm Hồng Trường, các thầy đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình học

tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, cùng các

thầy, cô giáo trong khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái

Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập,

nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.

iii

Mục lục

Lời cảm ơn ii

Một số ký hiệu và viết tắt iv

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1. Một số đặc trưng của không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . 10

1.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert . . . 18

1.5. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Chương 2 Phương pháp lặp song song giải bất đẳng thức biến

phân trên tập điểm bất động chung của họ hữu hạn dãy ánh xạ

gần không giãn 23

2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Phương pháp lặp song song giải Bài toán (2.2) . . . . . . . . . . . 27

2.3. Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1. Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . 35

2.3.2. Điểm bất động của nửa nhóm không giãn . . . . . . . . . 37

2.3.3. Không điểm của toán tử đa trị đơn điệu . . . . . . . . . . 41

Kết luận 46

Tài liệu tham khảo 47

iv

Một số ký hiệu và viết tắt

H không gian Hilbert

X không gian Banach

h., .i tích vô hướng trên H

k.k chuẩn trên H

∪ phép hợp

∩ phép giao

R+ tập các số thực không âm

G(A) đồ thị của toán tử A

D(A) miền xác định của toán tử A

R(A) miền ảnh của toán tử A

A

−1

toán tử ngược của toán tử A

I toán tử đồng nhất

∅ tập rỗng

∀x với mọi x

∃x tồn tại x

xn → x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0

xn * x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0

Fix(T) tập điểm bất động của ánh xạ T

1

Mở đầu

Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" được nảy sinh trong quá trình nghiên

cứu và giải các bài toán thực tế như bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính,

bài toán mạng giao thông, lý thuyết trò chơi, phương trình vật lý toán ... Bài

toán này được giới thiệu lần đầu tiên bởi Hartman và Stampacchia vào năm 1966

trong tài liệu [6]. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn

chiều, cũng như vô hạn chiều cùng với các ứng dụng của nó được giới thiệu khá

chi tiết trong cuốn sách “An Introduction to Variational Inequalities and Their

Applications” của D. Kinderlehrer và G. Stampacchia xuất bản năm 1980 [8].

Từ đó, bài toán bất đẳng thức biên phân được nghiên cứu và phát triển mạnh

mẽ, thu hút sự được sự quan tâm của nhiều người làm toán trong và ngoài nước.

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến

phân là việc xây dựng các phương pháp giải hay chính xác hơn là các phương

pháp xấp xỉ nghiệm. Có nhiều phương pháp giải đã được đề xuất như phương

pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểm bất động, phương

pháp đường dốc nhất ...

Bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: Tìm một phần tử x

∗ ∈ C,

sao cho

hF(x

∗

), x − x

∗

i ≥ 0, ∀x ∈ C, (0.1)

trong đó F là một ánh xạ liên tục từ không gian Hilbert H vào chính nó và ta

ký hiệu bài toán này là VI(C, F). Bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong việc

giải bài toán tối ưu lồi có ràng buộc và một trường hợp đặc biệt là bài toán chấp

nhận lồi nổi tiếng. Ta xem mỗi tập C là tập điểm bất động của phép chiếu mêtric

PC từ H lên C, do đó bài toán trên có thể xem như bài toán bất đẳng thức biến

phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn. Ngoài ra, nó cũng đã được

nghiên cứu và mở rộng thành bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm