Một phương pháp lặp kiểu Halpern cho bài toán điểm bất động trong không gian Banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ LAN

MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP KIỂU HALPERN

CHO BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG

KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1. TS. Trương Minh Tuyên

2. TS. Phạm Hồng Trường

Thái Nguyên – 2020

ii

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trương Minh Tuyên và TS. Phạm

Hồng Trường, các thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình

học tập nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo trong khoa

Toán -Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường.

iii

Mục lục

Lời cảm ơn ii

Một số ký hiệu và viết tắt v

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian Banach phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Khoảng cách Bregman và ánh xạ Bregman không giãn mạnh . . . 4

1.2.1 Hàm lồi và khoảng cách Bregman . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Phép chiếu Bregman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.3 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ Bregman không giãn mạnh 24

Chương 2 Một phương pháp lặp kiểu Halpern tìm điểm bất động

chung của hữu hạn toán tử Bregman không giãn mạnh 27

2.1 Thuật toán và bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Sự hội tụ mạnh của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1 Bài toán chấp nhận lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.2 Không điểm chung của các toán tử đơn điệu cực đại . . . . 36

2.3.3 Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.4 Không điểm chung của các toán tử Bregman ngược đơn

điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.5 Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

iv

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 42

v

Một số ký hiệu và viết tắt

X không gian Banach

X

∗

không gian đối ngẫu của X

R tập hợp các số thực

R

+ tập các số thực không âm

∩ phép giao

int M phần trong của tập hợp M

inf M cận dưới đúng của tập hợp số M

sup M cận trên đúng của tập hợp số M

max M số lớn nhất trong tập hợp số M

min M số nhỏ nhất trong tập hợp số M

argminx∈XF(x) tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X

∅ tập rỗng

dom(A) miền hữu hiệu của toán tử (hàm số) A

R(A) miền ảnh của toán tử A

A

−1

toán tử ngược của toán tử A

I toán tử đồng nhất

lim sup

n→∞

xn giới hạn trên của dãy số {xn}

lim inf

n→∞

xn giới hạn dưới của dãy số {xn}

xn → x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0

xn * x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0