Luận văn thạc sĩ nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HÀ TRỌNG THI

NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - 2022

e

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HÀ TRỌNG THI

NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT

Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số

Mã số : 9460104

Phản biện thứ nhất : GS.TSKH. Phùng Hồ Hải

Phản biện thứ hai : PGS.TS. Trương Công Quỳnh

Phản biện thứ ba : PGS.TS. Mai Hoàng Biên

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGÔ LÂM XUÂN CHÂU

TS. LÊ THANH HIẾU

Bình Định - 2022

e

i

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan mọi kết quả, nội dung của luận án “Nghiệm đại số

của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một” là do tôi

thực hiện dưới sự hướng dẫn của các thầy giáo TS. Ngô Lâm Xuân Châu

và TS. Lê Thanh Hiếu.

Các nội dung và kết quả sử dụng trong Luận án đều có trích dẫn và chú

thích nguồn gốc, kết quả là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử

dụng. Nếu có điều gì gian lận, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước

pháp luật.

Quy Nhơn, ngày 14 tháng 01 năm 2022

TM. Tập thể hướng dẫn Tác giả

TS. Lê Thanh Hiếu Hà Trọng Thi

e

ii

Lời cảm ơn

Luận án được hoàn thành trong quá trình học tập và nghiên cứu tại

Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn

của TS. Ngô Lâm Xuân Châu và TS. Lê Thanh Hiếu. Các thầy đã chỉ bảo

tận tình và hướng dẫn tôi từ những bước đầu làm nghiên cứu. Các thầy

hướng dẫn nghiêm túc và luôn tạo một tình cảm thân thiện trong suốt

thời gian học tập. Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.

Ngô Lâm Xuân Châu và TS. Lê Thanh Hiếu.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Lãnh đạo Trường Đại học Quy

Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi học

tập. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh đạo Khoa Toán và Thống

kê cùng các thầy cô giáo trong Khoa đã luôn ủng hộ, động viên tôi trong

suốt thời gian tham gia học tập tại trường.

Tôi xin cảm ơn Lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định, các đồng

nghiệp và bạn bè đã ủng hộ, động viên và tạo điều kiện tốt nhất để tôi

tham gia học tập.

Trân trọng.

e

iii

Mục lục

Mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 8

1.1 Kiến thức cơ sở về đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Mở rộng trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2 Kết thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Đại số vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Trường vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2 Nghiệm của đa thức vi phân . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Đường cong đại số hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Phép biến đổi tương đương trên các phương trình vi phân

đại số cấp một 27

2.1 Phép biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Phép biến đổi M¨obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một 40

3.1 Nghiệm đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Một số tính chất bảo toàn của nghiệm . . . . . . . . . . . . 44

e

iv

3.3 Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số . . . . . . . . . 47

4 Sự tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp

một tham số hóa hữu tỷ được 52

4.1 Phương trình vi phân đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.1 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b . . . . 53

4.1.2 Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw . . . . . 59

4.1.3 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b . . . 60

4.2 Phương trình vi phân Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3 Phương trình vi phân Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4 Phương trình vi phân đại số cấp một tham số hóa hữu tỷ

được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5 Nghiệm tổng quát đại số của phương trình tham số hóa hữu

tỷ được thuộc lớp autonom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Kết luận 89

Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án 92

Tài liệu tham khảo 93

e

v

BẢNG CÁC KÝ HIỆU

C trường số phức

i số phức đơn vị ảo

C(x) trường vi phân các hàm hữu tỷ theo biến x

K bao đóng đại số của trường K

K[x] vành đa thức n biến x = (x1, . . . , xn) với hệ số trong K

deg(f) bậc của đa thức f

K{y} vành các đa thức vi phân theo biến y trên trường K

prem(P, F) phần dư của phép chia đa thức vi phân P

cho đa thức vi phân F

res(f, g, x) kết thức của f và g theo biến x

disc(f) biệt thức của đa thức một biến f

δF bậc tổng thể vi phân của đa thức vi phân F

AODE(1)

K tập các phương trình vi phân đại số cấp một trên trường K

M phép biến đổi M¨obius trên K; M(u) = au + b

cu + d

ΦM ánh xạ hữu tỷ tương ứng với phép biến đổi M¨obius M;

ΦM(u, v) = 

M(u),

∂M(u)

∂x +

∂M(u)

∂u v



e

vi

G

(1)

K nhóm các phép biến đổi song hữu tỷ dạng ΦM

• tác động của nhóm G

(1)

K lên AODE(1)

K

Tc ánh xạ tịnh tiến theo hằng c

e

1

MỞ ĐẦU

Một phương trình vi phân đại số cấp một có dạng F(y, y0

) = 0, trong

đó F ∈ C(x)[y, y0

] và F có chứa biến đạo hàm y

0

. Nếu F ∈ C[y, y0

] thì ta

nói phương trình F(y, y0

) = 0 là autonom (tức là mọi hệ số của F đều là

hằng số).

Việc nghiên cứu các phương trình vi phân đại số cấp một bắt đầu từ cuối

thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 với các công trình tiêu biểu của L. Fuchs [14],

H. Poincaré [27] và J. Malmquist [19]. Một nghiệm chung của F(y, y0

) = 0

và

∂

∂y0

F(y, y0

) = 0 được gọi là một nghiệm kỳ dị. Các nghiệm kỳ dị của

phương trình F(y, y0

) = 0 luôn là nghiệm đại số và có hữu hạn nghiệm

kỳ dị như vậy, đồng thời việc tìm các nghiệm kỳ dị này là đơn giản. Tuy

nhiên, việc xác định liệu phương trình F(y, y0

) = 0 có nghiệm tổng quát

đại số hay không và đưa ra một thuật toán tính toán tường minh một

nghiệm tổng quát đại số như vậy là một vấn đề khó.

Cho đến nay, vấn đề tìm nghiệm tổng quát đại số của một phương

trình vi phân cấp một mới chỉ giải quyết một cách có hệ thống cho trường

hợp phương trình vi phân autonom. Trong trường hợp này sự tồn tại một

nghiệm đại số không tầm thường quyết định sự tồn tại nghiệm tổng quát

đại số. Câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu có còn những lớp phương trình nào

e

2

khác rộng hơn và cũng có tính chất như vậy hay không?

Vấn đề tương tự cho các phương trình vi phân cấp một không autonom

(non-autonomous) mới chỉ giải quyết cho một số trường hợp đặc biệt;

các lớp nghiệm hình thức của phương trình F(y, y0

) = 0 được quan tâm

nghiên cứu là nghiệm hữu tỷ, nghiệm đại số, nghiệm liouville, ... Hiện nay

các thuật toán hữu hiệu để tìm kiếm các dạng nghiệm nói trên chỉ giới hạn

đối với các phương trình vi phân đặc biệt (hoặc có bậc thấp như phương

trình vi phân tuyến tính, phương trình Clairaut, phương trình Riccati,

phương trình Abel).

Việc sử dụng các phép biến đổi M¨obius trình bày trong các bài báo

[22, 23] có thể chỉ ra một lớp các phương trình vi phân đại số cấp một

không autonom nhưng có thể biến đổi một cách tương đương về phương

trình autonom và có nghiệm tổng quát đại số. Như vậy chúng ta cần những

nghiên cứu lý thuyết cho vấn đề này.

Bên cạnh đó, dựa vào một chặn bậc cho các nghiệm đại số không tầm

thường của một phương trình vi phân đại số cấp một autonom, ta có thể

suy ra một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số. Vấn đề này được mở

rộng như thế nào cho các phương trình vi phân cấp một không autonom

cũng là một câu hỏi mở cần được nghiên cứu.

Một nghiệm của phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y0

) = 0

trong một trường mở rộng vi phân K của C(x) là một phần tử η ∈ K sao

cho F(η, η0

) = 0, trong đó “ 0

” là phép đạo hàm trên K mở rộng phép đạo

hàm thông thường trên C(x). Nếu F là đa thức bậc một theo y

0

thì phương

trình vi phân tương ứng được viết dưới dạng hữu tỷ y

0 = P(z, y)/Q(z, y),

e