(Luận Văn Thạc Sĩ) Một Số Chuyên Đề Lý Thuyết Số, Đại Số, Giải Tích Và Phần Mềm Geogebra.pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

BÙI THỊ HẰNG MƠ

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ,

GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

BÙI THỊ HẰNG MƠ

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ,

GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. TẠ DUY PHƢỢNG

THÁI NGUYÊN - 2019

✶

▼ö❝ ❧ö❝

❈❤÷ì♥❣ ✶ ▼❐❚ ❙➮ ▲➏◆❍

❈❒ ❇❷◆ ❈Õ❆ ●❊❖●❊❇❘❆ ❚❘❖◆● ❚➑◆❍ ❚❖⑩◆ ❙➮ ❍➴❈✱

▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❙➮✱ ✣❸■ ❙➮ ❱⑨ ●■❷■ ❚➑❈❍ ✺

✶✳✶✳ ❈➔✐ ✤➦t ✈➔ sû ❞ö♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺

✶✳✶✳✶✳ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ♣❤➛♥ ♠➲♠●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺

✶✳✶✳✷✳ ❈➔✐ ✤➦t ♣❤➛♥ ♠➲♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻

✶✳✶✳✸✳ ▼ët sè ❝❤ù❝ ♥➠♥❣ ❝❤➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼

✶✳✶✳✹✳ ▼ët sè ❤➔♠ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽

✶✳✷✳ ▼ët sè ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ sè ❤å❝ ✈➔ ❧þ t❤✉②➳t sè ✳ ✾

✶✳✷✳✶✳ ❈→❝ ❧➺♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾

✶✳✷✳✷✳ ❈→❝ ❧➺♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ✈➔ sè ❞÷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶

✶✳✷✳✸✳ ❈→❝ ❧➺♥❤ ✈➲ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶

✶✳✷✳✹✳ ❈→❝ ❝➙✉ ❧➺♥❤ ▲æ❣✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷

✶✳✷✳✺✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ✈î✐ ✣↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸

✶✳✷✳✻✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ✈î✐ ●✐↔✐ t➼❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸

❈❤÷ì♥❣ ✷ ❙Û ❉Ö◆● ●❊❖●❊❇❘❆ ❚❘❖◆● ▼❐❚ ❙➮ ❈❍❯❨➊◆

✣➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❙➮✱ ✣❸■ ❙➮✱ ●■❷■ ❚➑❈❍ ✹✵

✷✳✶✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵

✷✳✶✳✶✳ ❚➻♠ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❞↕♥❣ 1000...01 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵

✷✳✶✳✷✳ ❑✐➸♠ tr❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ▼❡rs❡♥♥❡ ❞↕♥❣ 2

p − 1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✶

✷✳✶✳✸✳ ❑✐➸♠ tr❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❋❡r♠❛t ❞↕♥❣ 2

2n + 1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺

✷✳✶✳✹✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ❝→❝ sè ❞↕♥❣ An = p2p3...pn − 2 r❛ t❤ø❛ sè

♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼

✷✳✷✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✵

✷

✷✳✸✳ ❱➩ ✤ç t❤à ❤➔♠ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼

✷✳✹✳ ❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸

✷✳✹✳✶✳ ❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tr➯♥ ●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸

✷✳✹✳✷✳ ❱➲ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❞↕② t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✶

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✾✾

✸

▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯

❉♦ ♥❤ú♥❣ ÷✉ ✤✐➸♠ ✈÷ñt trë✐ ✭♠✐➵♥ ♣❤➼✱ ❝â ❝➔✐ ✤➦t t✐➳♥❣ ❱✐➺t✱ ♣❤õ ❤➛✉

❤➳t ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣ ✈➔ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❣✐❛♦ ❞✐➺♥ t❤➙♥ t❤✐➺♥✱✳✳✳✮✱ ●❡♦❣❡✲

❜r❛ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ✶✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙② ✤➣ ✤÷ñ❝ ♣❤ê ❜✐➳♥ t↕✐ ❱✐➺t ◆❛♠✳ ◆❤✐➲✉

❣✐→♦ ✈✐➯♥ ✤➣ sû ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ t❤✐➳t ❦➳ ❜➔✐ ❣✐↔♥❣✱ ✈✐➳t ❝→❝ s→♥❣ ❦✐➳♥

❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝❤÷❛ ❝â ♠ët ❝✉è♥ s→❝❤ ♥➔♦ ✈✐➳t

✈➲ ●❡♦❣❡❜r❛✱ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ tr➯♥ ♠↕♥❣ t❤÷í♥❣ t➟♣ tr✉♥❣ ✈➔♦ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ sû ❞ö♥❣

●❡♦❣❡❜r❛✱ ❝❤÷❛ ❝â ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ ✈✐➳t ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ ♠❛♥❣ t➼♥❤ ❝❤✉②➯♥ s➙✉✳

▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ t❤✉②➳t ♠✐♥❤ t➼♥❤ ❤✐➺✉ q✉↔ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣

❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝õ❛ ❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✳

▲✉➟♥ ✈➠♥ ❣ç♠ ❤❛✐ ❈❤÷ì♥❣✳

❈❤÷ì♥❣ ✶ t➟♣ ❤ñ♣ ♠ët sè ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t

sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ♥❤➡♠ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼➦❝ ❞ò ❝❤÷❛ ❧✐➺t ❦➯

✤➛② ✤õ ❝→❝ ❧➺♥❤ ✈➔ ❝❤÷❛ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❤➳t ❝→❝ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣

❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝ô♥❣ ❤✐ ✈å♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❧➔

t➔✐ ❧✐➺✉ ❝â ➼❝❤ ✈➔ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ❛✐ ♠î✐ ❜➢t ✤➛✉ ❧➔♠ q✉❡♥ ✈î✐ ●❡♦❣❡❜r❛✳

❈❤÷ì♥❣ ✷ ❣ç♠ ❜è♥ ❝❤✉②➯♥ ✤➲✳

❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✶ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ❝❤➾ ♠ët ❧➺♥❤ ✐❢❛❝t♦r ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛

tr♦♥❣ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët sè ❣✐↔ t❤✉②➳t ✈➲ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳

❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✷ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ❝❤➾ ♠ët ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛

tr♦♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ r❛ t❤ø❛ sè✳

❈â t❤➸ ❝♦✐ ●❡♦❣❡❜r❛ ♥❤÷ ♠ët ❝æ♥❣ ❝ö t❤➼ ♥❣❤✐➺♠ ✤➸ t➻♠ r❛ q✉② ❧✉➟t tr♦♥❣

♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❤♦➦❝ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ r❛ t❤ø❛ sè✳

❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ♣❤➛♥

❍➔♠ sè ✈➔ ✣ç t❤à✱ ♠ët ♣❤➛♥ q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣✳

❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✹ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ t➼♥❤ ❝→❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❦❤â ❝❤➾ ❜➡♥❣ ♠ët ❧➺♥❤

✹

❚✐❝❤P❤➙♥ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛✳ ✣ç♥❣ t❤í✐ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝ô♥❣ ♥➯✉ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ❦❤❛✐ t❤→❝

●❡♦❣❡❜r❛ ✈➔ ▼❛♣❧❡ tr♦♥❣ ❞↕② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤✳

❚r♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tæ✐ ✤➣

♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ sü ❣✐ó♣ ✤ï ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ✱ ❝→❝ ❛♥❤ ❝❤à ✈➔ ❣✐❛ ✤➻♥❤✳ ❱î✐ t➜t ❝↔

t➜♠ ❧á♥❣ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤✱ tæ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tî✐ P●❙✳ ❚❙✳ ❚↕ ❉✉②

P❤÷ñ♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ❝❤➾ ❜↔♦✱ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ tæ✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ♥❣❤✐➯♥

❝ù✉✱ ❣â♣ þ ✈➔ sû❛ ❝❤ú❛ ✤➸ tæ✐ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳

❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝→♠ ì♥ ❝→❝ ❚❤➛②✱ ❈æ ❣✐→♦ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲

✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ tr✉②➲♥ ✤↕t ❝❤♦ tæ✐ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ s✉èt ❤❛✐

♥➠♠ ❤å❝ t➟♣✱ ❧➔ ♥➲♥ t↔♥❣ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ ❧➔ ❤➔♥❤

tr❛♥❣ q✉þ ❜→✉ t❤❡♦ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt ❝✉ë❝ ✤í✐✳

❚æ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✤➳♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤ t❤➙♥ ②➯✉ ❝õ❛ tæ✐✱

♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❧✉æ♥ ð ❜➯♥ tæ✐✱ õ♥❣ ❤ë ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ✈➔ ❧➔ ❝❤é ❞ü❛ ✈ú♥❣ ❝❤➢❝ ✤➸

tæ✐ ②➯♥ t➙♠ ❤å❝ t➟♣ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❤å❝ ♥➔②✳

❈✉è✐ ❝ò♥❣ tæ✐ ①✐♥ ❦➼♥❤ ❝❤ó❝ q✉þ ❚❤➛②✱ ❈æ✱ ❆♥❤✱ ❈❤à ✈➔ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ❞ç✐ ❞➔♦

sù❝ ❦❤ä❡✱ t❤➔♥❤ ❝æ♥❣ tr♦♥❣ sü ♥❣❤✐➺♣✦

❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝→♠ ì♥✦

✺

❈❤÷ì♥❣ ✶

▼❐❚ ❙➮ ▲➏◆❍

❈❒ ❇❷◆ ❈Õ❆ ●❊❖●❊❇❘❆

❚❘❖◆● ❚➑◆❍ ❚❖⑩◆ ❙➮ ❍➴❈✱

▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❙➮✱ ✣❸■ ❙➮ ❱⑨

●■❷■ ❚➑❈❍

✶✳✶✳ ❈➔✐ ✤➦t ✈➔ sû ❞ö♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ●❡♦❣❡❜r❛

✶✳✶✳✶✳ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ♣❤➛♥ ♠➲♠●❡♦❣❡❜r❛

●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ✤➢❝ ❧ü❝ trñ ❣✐ó♣ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✱ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

t♦→♥ ❤å❝✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ❝â t❤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷ñ❝ ❤➛✉ ❤➳t ❝→❝ t➼♥❤ t♦→♥ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣

❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣ ✈➔ ✤↕✐ ❤å❝ ✭sè ❤å❝✱ ✤↕✐ sè✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❤➻♥❤ ❤å❝✱

t♦→♥ t❤è♥❣ ❦➯✱✳ ✳ ✳✮✱ ❞♦ ✤â r➜t t✐➺♥ ❞ò♥❣ tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ t➟♣✱ ✤➦❝ ❜✐➺t

tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ t➟♣ t❤❡♦ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ♠î✐ ✈î✐ ✤à♥❤

❤÷î♥❣ ♣❤→t tr✐➸♥ ♥➠♥❣ ❧ü❝✱ ❦❤✉②➳♥ ❦❤➼❝❤ ❤å❝ s✐♥❤ tü ❤å❝✱ tü ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳

▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ÷✉ ✤✐➸♠ ♥ê✐ trë✐ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ♠✐➵♥ ♣❤➼✱ ✈➔ ❝â

t❤➸ ❝❤✉②➸♥ ✤ê✐ ♥❣æ♥ ♥❣ú✱ t❤➼ ❞ö✱ tø t✐➳♥❣ ❆♥❤ s❛♥❣ t✐➳♥❣ ❱✐➺t ❤♦➦❝ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✱

❝➔✐ ✤➦t ✈➔ t❤❛♦ t→❝ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ t❤✉➟♥ t✐➺♥✳ ❈â t❤➸ ❧➯♥ ♠↕♥❣ t↔✐ ●❡♦❣❡❜r❛✱ t➻♠

❤✐➸✉ ❝➔✐ ✤➦t ✈➔ sû ❞ö♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❜➔✐ ✈✐➳t ✭t✐➳♥❣ ❱✐➺t ❤♦➦❝ t✐➳♥❣ ❆♥❤✮ ❤♦➦❝ q✉❛

❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ tr➼❝❤ ❞➝♥ ð ❝✉è✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

●❡♦❣❡❜r❛ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ð ❱✐➺t ◆❛♠ ❦❤♦↔♥❣ ✶✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙②✱ ✈➔ ✤➣ ✤÷ñ❝

♥❤✐➲✉ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ✭tø ❧î♣ ✻ ✤➳♥ ❧î♣ ✶✷ ✈➔ ✣↕✐ ❤å❝✮ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❣✐↔♥❣✱ tr♦♥❣

✻

t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ s→♥❣ ❦✐➳♥ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✱ ✤↕t ❤✐➺✉ q✉↔ tèt✳ ❈â t❤➸ sû

❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ ✤➸ ✈➩ ❤➻♥❤ ✤ë♥❣✱ ✈➩ ✤ç t❤à✱ t➼♥❤ t♦→♥ ❤♦➦❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ t❤❛♦

t→❝ t♦→♥ ❤å❝ ♣❤ù❝ t↕♣ ✭♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛

t❤ù❝ r❛ t❤ø❛ sè✱ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❜✐➸✉ t❤ù❝✱ t➼♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠✱ t➼❝❤ ♣❤➙♥✱ ❧➟♣ ❜↔♥❣ t❤è♥❣

❦➯✱✳ ✳ ✳✮ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ♠➜t ♥❤✐➲✉ t❤í✐ ❣✐❛♥✳

●❡♦❣❡❜r❛ ❝ô♥❣ ✤➣ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ ✈➔♦ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❚✐♥ ❤å❝ ❚r✉♥❣ ❤å❝ ❈ì sð✳

❱î✐ ●❡♦❣❡❜r❛✱ ❝â t❤➸ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❧➔♠ ❝→❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ä ♥❤÷ t➻♠ ❤✐➸✉

♠ët sè ❣✐↔ t❤✉②➳t ✈➲ sè ♥❣✉②➯♥ tè✱ ❤♦➦❝ ❝→❝ tr↔✐ ♥❣❤✐➺♠ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ t♦→♥ ❤å❝

✈➔ t❤ü❝ t➳✳ ❚❤➼ ❞ö✱ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ❣â✐ ❧➺♥❤ t❤è♥❣ ❦➯ ✤➸ ❦❤↔♦ s→t tr➻♥❤ ✤ë ❤å❝

t➟♣ ❝õ❛ ❤å❝ s✐♥❤ ♠ët tr÷í♥❣✱ ✤ë t✉ê✐ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ ❞➙♥ sè ♠ët ①➣✱ ✳ ✳ ✳ ✈î✐

♥❤ú♥❣ ❞ú ❧✐➺✉ t❤ü❝ ✈➔ ❜↔♥❣ ❞ú ❧✐➺✉ ❧î♥✱ ✳ ✳ ✳

✶✳✶✳✷✳ ❈➔✐ ✤➦t ♣❤➛♥ ♠➲♠

• ❱➔♦ ❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳❣❡♦❣❡❜r❛✳♦r❣✴❞♦✇♥❧♦❛❞ ✤➸ t↔✐ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ✈➲ ♠→②✳

❙❛✉ ❦❤✐ ❝➔✐ ✤➦t✱ ❝❤å♥ ❘✉♥✱ ●❡♦●❡❜r❛ s➩ ❦❤ð✐ ✤ë♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤✐➺♥ ❣✐❛♦

❞✐➺♥ ♥❤÷ ❤➻♥❤ ❞÷î✐✳

• ❈❤✉②➸♥ s❛♥❣ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❦❤→❝✱ ✈➼ ❞ö✱ tø t✐➳♥❣ ❆♥❤ s❛♥❣ t✐➳♥❣ ❱✐➺t✿ ♥❤→②

✈➔♦ ❖♣t✐♦♥s tr➯♥ t❤❛♥❤ ❝æ♥❣ ❝ö ✭♠❡♥✉✮✱ ❝❤å♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡✱ ❝❤å♥ ❘✲❩✱ ❝❤å♥

❱✐❡t♥❛♠❡s❡✴❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ✤÷ñ❝ ❣✐❛♦ ❞✐➺♥ t✐➳♥❣ ❱✐➺t ♥❤÷ ❤➻♥❤ ❞÷î✐✳

✼

✶✳✶✳✸✳ ▼ët sè ❝❤ù❝ ♥➠♥❣ ❝❤➼♥❤

• ❈❤å♥ ♠æ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝✿ ❑❤✐ ❦❤ð✐ ✤ë♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s➩ ①✉➜t ❤✐➺♥

❜↔♥❣ ♣❤è✐ ❝↔♥❤ ❞ò♥❣ ✤➸ ❧ü❛ ❝❤å♥ ♠æ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❣ç♠✿ ✣↕✐ sè ✈➔ ✣ç

t❤à❀ ❍➻♥❤ ❤å❝❀ ❱➩ ✤ç ❤å❛ ✸❉❀ ❳→❝ s✉➜t t❤è♥❣ ❦➯✱✳✳✳ ▼æ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝

✤÷ñ❝ ♠➦❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ ✣↕✐ sè ✈➔ ✣ç t❤à✳ ❚❛ ❝â t❤➸ ❝❤♦ ➞♥✴❤✐➺♥ ❜↔♥❣

♣❤è✐ ❝↔♥❤ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❧✐❝❦ ❝❤✉ët ✈➔♦ ❜✐➸✉ t÷ñ♥❣ ♠ô✐ t➯♥ ð ❝↕♥❤ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ❝û❛

sê ✤➸ ❝❤å♥ ❧↕✐ ♠ët ♠æ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❦❤→❝✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➳ ✤ë ✣↕✐ sè ✈➔ ✣ç t❤à

❝â t❤❛♥❤ ◆❤➟♣ ❧➺♥❤ ð ❞÷î✐ ❝ò♥❣ ❝õ❛ ❝û❛ sê ❞ò♥❣ ✤➸ ♥❤➟♣ ❧➺♥❤ trü❝ t✐➳♣ ❦❤✐

✈➩ ❤➻♥❤✱ t➼♥❤ t♦→♥ ✭❍➻♥❤ ❞÷î✐✮✳

✽

●❡♦❣❡❜r❛ ❝â t❤➸ ❧➔♠ ✤÷ñ❝ ❦❤→ ♥❤✐➲✉ ✈✐➺❝✿ sè ❤å❝✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ t❤è♥❣ ❦➯

✈➔ ①→❝ s✉➜t✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ÷✉ ✤✐➸♠ ♥ê✐ trë✐ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ✈❛✐ trá ❝õ❛ ♥â tr♦♥❣

trñ ❣✐ó♣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❤➻♥❤ ❤å❝ ♠ët ❝→❝❤ trü❝ q✉❛♥✱ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤ë♥❣✱ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ✈➩

❤➻♥❤✱ ✈➩ t❤✐➳t ❞✐➺♥ ✈➔ ①♦❛②✱ t➻♠ q✉ÿ t➼❝❤✱✳✳✳

▲✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❙è ❤å❝✱ ▲þ

t❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✳ ❙û ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❤♦➦❝ ①→❝ s✉➜t

t❤è♥❣ ❦➯ ❝â t❤➸ ①❡♠ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ tr➼❝❤ ❞➝♥ ð ❝✉è✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

✶✳✶✳✹✳ ▼ët sè ❤➔♠ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛

✶✳ sqrt(x) : ❈➠♥ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝õ❛ x ✭

√

x✮

✷✳ ❛❜s(x) : ❚rà t✉②➺t ✤è✐ ❝õ❛ x ✭|x|✮✳

✸✳ ❢❧♦♦r(x) : ❍➔♠ s➔♥✱ ❤➔♠ ♣❤➛♥ ♥❣✉②➯♥ ✭sè ♥❣✉②➯♥ ❧î♥ ♥❤➜t ❦❤æ♥❣ ✈÷ñt q✉→

x✮✳

❱➼ ❞ö✿ ❢❧♦♦r(3.14) = 3; ❢❧♦♦r(−

√

2) = −2.

✹✳ ❝❡✐❧(x) : ❍➔♠ tr➛♥ ✭sè ♥❣✉②➯♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❧î♥ ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ x✮✳

❱➼ ❞ö✿ ❝❡✐❧(3.14) = 4; ❝❡✐❧(−

√

2) = −1.

✺✳ r♦✉♥❞(x) : ▲➔♠ trá♥ ♠ët sè tî✐ ♠ët sè ❝❤ú sè ✤➣ ①→❝ ✤à♥❤✳

❱➼ ❞ö✿

❛✳ ▲➔♠ trá♥ sè 23, 7825 ✤➳♥ ❤❛✐ ❝❤ú sè t❤➟♣ ♣❤➙♥✿

r♦✉♥❞(23.7855, 2) = 23.79.

❜✳ ▲➔♠ trá♥ sè 21, 5 ✤➳♥ ♠ët ✈à tr➼ t❤➟♣ ♣❤➙♥ ✈➲ ❜➯♥ tr→✐ ❝õ❛ ❞➜✉ t❤➟♣ ♣❤➙♥✿

r♦✉♥❞(21.5, −1) = 20.

✻✳ ❡①♣(x) : e

x

.

✼❛✳ ❧❣(x) : ❧æ❣❛r✐t t❤➟♣ ♣❤➙♥ ✭❧➔ log10 x ✮✳

✼❜✳ ❧♥(x) : ▲æ❣❛r✐t tü ♥❤✐➯♥ ✭❧➔ ❧æ❣❛r✐t ❝ì sè e✮✳

✽✳ ❍➔♠ sè ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝✿ sin(x), cos(x),tan(x), cot(x).

✾✳ s✐♥❤(x) := e

x − e

−x

2

.

✶✵✳ ❝♦s❤(x) := e

x + e

−x

2

.

✶✶✳ t❛♥❤(x) := s✐♥❤(x)

❝♦s❤(x)

.