Đề thi IMO lần thứ tư 1962

Kỳ thi IMO lần thứ 4 - 1962

1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có chữ số cuối cùng là 6, sao cho nếu số cuối cùng là 6 được di

chuyển lên đầu thì được một số gấp 4 lần số đó.

2. Tìm tất cả các số thực x thoả mãn:

3. Hình lập phương ABCDA'B'C'D' có mặt trên là ABCD và mặt dưới là A'B'C'D' với A ở

trên A'

, B ở trên B'

, C ở trên C'

, D ở trên D'

. Điểm X di chuyển theo chu vi của ABCD với tốc

độ không đổi, và điểm Y cũng di chuyển với tốc độ như vậy theo chu vi của B'C'CB, khi X

chuyển từ A tới B thì Y đồng thời cũng di chuyển tương ứng từ B' tới C'. Tìm quỹ tích trung

điểm của XY ?

4. Tìm tất cả các nghiệm thực thoả mãn: cos2x + cos22x + cos23x = 1.

5. Cho ba điểm phân biệt A, B, C trên đường tròn K. Dựng điểm D trên K sao cho tứ giác

ABCD ngoại tiếp đường tròn.

6. Cho tam giác cân ABC. Gọi O1, O2 lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam

giác và gọi R, r lần lượt là bán kính của đường tròn O1, O2. Chứng minh rằng:

O1O2 =

7. Tứ diện SABC có tính chất sau: tồn tại 5 hình cầu, mỗi hình cầu đều tiếp xúc với 6 cạnh

của tứ giác hoặc đường kéo dài của chúng.

(a) Chứng minh rằng tứ diện SABC là đều.

(b) Chứng minh rằng với mỗi tứ diện đều 5 hình cầu như vậy tồn tại.