Đề thi IMO lần thứ hai 1960

Kỳ thi IMO lần thứ hai - 1960

1. Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho số đó chia hết cho 11, và kết quả của số đó sau khi

chia cho 11 bằng tổng bình phương các chữ số của nó.

2. Với giá trị thực nào của x bất đẳng thức sau thoả mãn:

< 2x + 9

3. Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC có độ dài a được chia thành n phần bằng nhau,

trong đó n là một số lẻ. Phần đoạn thẳng ở chính giữa nhìn A dưới một góc . Gọi h là

khoảng cách từ A xuống BC. Chứng minh rằng:

tg =

4. Dựng tam giác ABC biết độ các dài đường cao hạ từ A, B và độ dài đường trung tuyến kẻ

từ A.

5. Cho hình lập phương ABCDA’

B’

C’

D’

có A ở trên A', B ở trên B’

, C ở trên C’

, D ở trên D’

.

X là một điểm bất kì trên đường chéo AC và Y là một điểm bất kì trên B’

D’

.

(a) Tìm quỹ tích trung điểm của XY.

(b) Tìm quỹ tích các điểm Z trên XY sao cho ZY = 2XZ.

6. Một hình nón có một hình cầu nội tiếp tiếp xúc với mặt đáy và với các mặt nghiêng của

hình nón. Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu sao cho mặt đáy của nó nằm trên mặt đáy của

hình nón. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của hình nón và hình trụ.

(a) Chứng minh rằng V1 V2.

(b) Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của tỉ lệ . Trong trường hợp này xây dựng góc nửa của hình

nón.