Đề thi IMO lần thứ nhất 1959

Kỳ thi IMO lần thứ nhất - 1959

1. Chứng minh rằng là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n.

2. Với giá trị thực nào của x thì biểu thức = A nhận các giá trị:

(a) A =

(b) A = 1

(c) A = 2

Ở đây chỉ có các số thực không âm cho phép trong dấu căn và giá trị của căn luôn lấy giá trị

không âm?

3. Giả sử a, b, c là các số thực. Cho phương trình sau của cosx:

a cos2x + b cos x + c = 0

Hãy thiết lập phương trình bậc 2 đối với cos2x sao cho có cùng nghiệm x với phương trình

trên. So sánh các phương trình trên với a = 4, b = 2, c = -1.

4. Cho trước độ dài |AC|, hãy dựng tam giác ABC với góc = 90 độ, và trung tuyến BM

thỏa mãn BM2 = AB.BC.

5. Cho điểm M tuỳ ý trong đoạn thẳng AB. Dựng các hình vuông AMCD và MBEF nằm

cùng phía đối với đường thẳng AB. Gọi P, Q lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các

hình vuông AMCD và MBEF. Các đường tròn này giao nhau tại M và N.

(a) Chứng minh rằng AF và BC cắt nhau tại N.

(b) Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định S (không phụ thuộc vào M).

(c) Tìm quĩ tích trung điểm của đoạn thẳng PQ khi M thay đổi.

6. Cho hai mặt phẳng P và Q không song song với nhau. Điểm A nằm trong P nhưng không

thuộc Q, điểm C nằm trong Q nhưng không thuộc P. Dựng điểm B trong P và D trong Q sao

cho tứ giác ABCD thoả mãn các điều kiện sau: nằm trênng một mặt phẳng, AB song song

với CD, AD = BC, và ngoại tiếp một đường tròn.