Đề thi IMO lần thứ sáu 1964

Kỳ thi IMO lần thứ 6 - 1964

1. (a) Tìm tất cả các số tự nhiên n với 2n -1 chia hết cho 7.

(b) Chứng minh rằng không có số tự nhiên n nào để 2n + 1 chia hết cho 7.

2. Giả sử a, b, c là các cạnh của một tam giác.

Chứng minh rằng:

a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) 3abc.

3. Tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c. Các đường tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp

tam giác được dựng song song với các cạnh của tam giác và cắt hai cạnh kia tạo thành ba tam

giác. Đối với mỗi tam giác này lại có một đường tròn nội tiếp. Tính tổng diện tích của cả bốn

đường tròn nội tiếp trên.

4. Có 17 người, mỗi một cặp trong số họ đều trao đổi thư từ cho nhau với một trong ba chủ

đề. Chứng minh rằng có ít nhất 3 người viết cho nhau theo cùng một chủ đề. (Hay nói một

cách khác, nếu ta tô màu cho các cạnh của một đồ thị đầy đủ 17 đỉnh với ba màu khác nhau,

khi đó ta có thể tìm thấy một tam giác có tất cả các cạnh cùng màu).

5. Cho năm điểm trong một mặt phẳng sao cho không có hai đường thẳng (trong số các

đường thẳng nối hai trong số các điểm trên) nào trùng nhau, song song với nhau hoặc vuông

góc với nhau (các đường thẳng được nối từ hai trong năm điểm đã cho). Từ mỗi một điểm ta

kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng được nối hai trong bốn điểm còn lại. Hãy xác

định số điểm giao nhau lớn nhất giữa các đường thẳng vuông góc có thể có.

6. Cho tứ diện ABCD và D0 là trọng tâm tam giác ABC. Từ A, B, C kẻ các đường thẳng

song song với DD0 lần lượt cắt các mặt phẳng BCD, CAD, ABD tương ứng tại A0, B0, C0 .

Chứng minh rằng thể tích của A0B0C0D0 gấp ba lần thể tích của ABCD. Kết quả có đúng khi

D0 là một điểm tuỳ ý trong tam giác ABC không ?.