Đề thi IMO lần thứ chín 1967

Kỳ thi IMO lần thứ 9 - 1967

1. Cho hình bình hành ABCD có AB = a, AD = 1, và tam giác ABD có tất cả các

góc đều nhọn. Chứng minh rằng các đường tròn có bán kính bằng 1 và tâm là A, B, C, D bao

trùm hình bình hành nếu và chỉ nếu:

2. Chứng minh rằng tứ diện chỉ có một cạnh có độ dài lớn hơn 1 có thể tích lớn nhất là .

3. Cho k, m, n là các số tự nhiên sao cho m + k + 1 là số nguyên tố lớn hơn n + 1.

Và cho cs

= s (s+1).

Chứng minh rằng: (cm+1 - ck)(cm+2 - ck)...(cm+n - ck) chia hết cho tích c1c2 ...cn.

4. Cho các tam giác nhọn A0B0C0 và A1B1C1 (tam giác nhọn là tam giác có tất cả các góc đều

nhọn). Dựng tam giác ABC có diện tích lớn nhất sao cho nó ngoại tiếp tam giác A0B0C0 (BC

chứa A0, CA chứa B0, AB chứa C0) và đồng dạng với tam giác A1B1C1.

5. Giả sử a1, ... , a8 là các số thực không đồng thời bằng 0. Cho cn = a1

n + a2

n + ... + a8

n với n

= 1,2,3, ...

Biết rằng có vô hạn số cn bằng 0. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho cn = 0.

6. Tổng số huy chương được trao tặng trong một cuộc thi đấu thể thao kéo dài n ngày là m.

Trong ngày thứ nhất có 1 huy chương và 1/7 huy chương còn lại được trao tặng. Trong ngày

thứ hai có 2 huy chương và 1/7 huy chương được trao tặng, .... và cứ theo quy luật như thế.

Trong ngày cuối cùng, còn lại n huy chương được trao tặng. Tìm m, n.