Đề thi IMO lần thứ bảy 1965

Kỳ thi IMO lần thứ 7 - 1965

1. Tìm tất cả x trong đoạn [0, ] thoả mãn:

2. Cho hệ phương trình:

Trong đó các hệ số aịj

(i,j = ) thoả mãn:

(a) aii là các số dương.

(b) aịj

là các số âm (i j).

(c) Tổng các hệ số trong mỗi phương trình là dương.

Chứng minh rằng x1 = x2 = x3 = 0 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình trên.

3. Tứ diện ABCD được chia thành hai phần bởi một mặt phẳng song song với AB và CD.

Khoảng cách từ mặt phẳng đó đến AB gấp k lần đến CD. Tính tỉ lệ giữa thể tích của hai

phần được chia đó.

4. Tìm tất cả các bộ bốn số thực sao cho tổng của bất kì một số nào đó và tích của ba số còn

lại là bằng 2.

5. Cho tam giác OAB có góc O nhọn. M là một điểm tuỳ ý trên AB. Gọi P, Q lần lượt là

chân đường vuông góc hạ từ M xuống OA và OB.

(a) Tìm quỹ tích tất cả các điểm H là trực tâm của tam giác OPQ khi M thay đổi trên AB.

(b) Quỹ tích đó sẽ thay đổi như thế nào nếu M là một điểm tuỳ ý trong tam giác OAB?

6. Cho n điểm trong mặt phẳng (n>2). Chứng minh rằng: có nhiều nhất n cặp điểm là có

khoảng cách lớn nhất (giữa các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ).