Đề thi IMO lần thứ tám 1966

Kỳ thi IMO lần thứ 8 - 1966

1. Đề thi toán gồm có 3 bài toán A, B, C.

Có 25 thí sinh đã giải ít nhất một trong ba bài trên. Trong số những thí sinh không giải được

bài A, số thí sinh giải bài B nhiều gấp đôi số thí sinh giải bài C.

Số thí sinh chỉ giải bài A nhiều hơn so với thí sinh giải bài A và ít nhất một trong các bài còn

lại là 1.

Số thí sinh chỉ giải bài A bằng số thí sinh chỉ giải bài B cộng với thí sinh chỉ giải bài C.

Hỏi có tất cả có bao nhiêu thí sinh chỉ giải được bài B?.

2. Chứng minh rằng nếu :

BC + AC = (BC tgA + AC tgB)

thì tam giác ABC cân.

3. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm tới các đỉnh của một tứ diện đều là nhỏ

nhất nếu nó là tâm của tứ diện.

4. Chứng minh rằng:

với bất kì số tự nhiên n và số thực x (với sin2nx 0).

5. Giải hệ phương trình:

|ai

- a1|x1 + |ai - a2|x2 +|ai

- a3|x3 + |ai

- a4|x4 = 1 với i = 1,2, 3, 4.

Trong đó: ai

là các số thực khác nhau.

6. Lấy bất kì các điểm K, L, M lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.

Chứng minh rằng có ít nhất một trong số các tam giác AML, BKM, CLK có diện tích

diện tích tam giác ABC.