Tác động của toán tử Milnor trên các bất biến của nhóm tuyến tính và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRƯƠNG MỘNG NI

TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ MILNOR

TRÊN CÁC BẤT BIẾN CỦA NHÓM

TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2022

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRƯƠNG MỘNG NI

TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ MILNOR

TRÊN CÁC BẤT BIẾN CỦA NHÓM

TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG

Ngành : Đại số và Lý thuyết số

Mã số : 8460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn:

GS.TS. NGUYỄN SUM

Bình Định - Năm 2022

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn. Tôi xin cam đoan

rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực không trùng lặp với

đề tài khác. Đề tài “Tác động của toán tử Milnor trên các bất biến của

nhóm tuyến tính và ứng dụng” là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng

dẫn của GS.TS. Nguyễn Sum và chưa từng được công bố trong bất cứ công trình

khoa học nào khác cho đến thời điểm hiện tại. Tôi cũng xin cam đoan rằng các

kết quả được trình bày trong luận văn có tài liệu tham khảo được trích dẫn rõ

ràng, đảm bảo tính trung thực, chính xác.

Bịnh Định, tháng 7 năm 2022

Tác giả

Trương Mộng Ni

i

Mục lục

Lời cam đoan

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Nhóm tuyến tính tổng quát và các nhóm con . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Đại số trên một trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Toán tử Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Toán tử Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Tác động của nhóm tuyến tính trên đại số ngoài và đại số đa thức 15

1.6 Bất biến Dickson và cấu trúc đại số các bất biến . . . . . . . . . . 16

1.7 Bất biến Mùi và cấu trúc đại số các bất biến của nhóm tam giác

trên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chương 2: Tác động của các toán tử Milnor nguyên thủy trên các

bất biến modular 22

2.1 Một số kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

ii

2.2 Tác động của các toán tử Milnor nguyên thủy trên các bất biến

Dickson và Mùi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1 Tác động của các toán tử St∆i trên các bất biến Dickson

Qn,s và bất biến Mùi Vn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.2 Tác động của các toán tử Milnor nguyên thủy trên các bất

biến Mùi M

(d)

n;s1,...,sk

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3 Biểu diễn bất biến định thức theo các bất biến Dickson và Mùi . 43

2.3.1 Biểu diễn các định thức theo các bất biến Mùi . . . . . . . 43

2.3.2 Biểu diễn các định thức theo các bất biến Dickson . . . . . 45

Chương 3: Một số ứng dụng 51

3.1 Giả thuyết Pengelley-Sinha đối với đồng điều Margolis mod-2 của

đại số Dickson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Một số phần tử hit trong một A (p)-module con của A (p)-module

Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1

Mở đầu

Cho p là một số nguyên tố. Ký hiệu GLn := GL(n, Fp) là nhóm tuyến tính

tổng quát trên trường nguyên tố Fp có p phần tử và

Pn :=







F2[y1, y2, . . . , yn], nếu p = 2,

E[x1, x2, . . . , xn] ⊗ Fp[y1, y2, . . . , yn], nếu p > 2,

trong đó E[x1, x2, . . . , xn] là đại số ngoài trên Fp với các biến x1, x2, . . . , xn, mỗi

biến có bậc 1 và Fp[y1, y2, . . . , yn] là đại số đa thức trên Fp với các biến y1, y2, . . . , yn

mỗi biến có bậc 2 nếu p > 2 và có bậc 1 nếu p = 2.

Lý thuyết bất biến modular của nhóm tuyến tính tổng quát GLn do nhà toán

học Dickson đề xướng vào những năm 1910 và trong thập niên này nó đã phát

triển mạnh mẽ với tư cách là một ngành đại số thuần túy. Đến năm 1975, Huỳnh

Mùi đã phát triển thêm đối với một số nhóm con G nào đó của GLn và ứng dụng

để nghiên cứu đại số đối đồng điều của các nhóm đối xứng thì lý thuyết bất biến

modular mới trở thành một công cụ hữu hiệu trong ngành Tôpô - Đại số.

Ký hiệu A (p) là đại số Steenrod mod-p được sinh bởi các toán tử Steenrod

P

i

, i ≥ 0, và toán tử Bockstein β với p > 2. Ta biết rằng đại số Pn là đối đồng điều

của nhóm Abel sơ cấp hạng n nên nó có cấu trúc module trên đại số Steenrod

A (p). Tác động của A (p) trên Pn được xác định bởi các công thức Cartan cùng