Số phức và ý nghĩa hình học trong chương trình phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Huyền

SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC TRONG

CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: 601410

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010

LỜI CẢM ƠN

Lời ñầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ñến TS. Nguyễn Ái Quốc, người ñã

tận tình hướng dẫn và ñộng viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn ñến quí thầy cô: PGS. TS. Lê Văn Tiến, PGS.TS. Lê

Thị Hoài Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh về

những bài giảng didactic thú vị.

Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot và TS.

Alain Birebent về những lời góp ý cho luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, quí thầy cô và các em học sinh trường

THPT Gia Định; Khoa Toán trường Đại học Nông Lâm và các sinh viên ngành

quản lý môi trường khóa 2010 ñã luôn hỗ trợ và giúp ñỡ tôi ñể tôi hoàn thành tốt

khóa học và hoàn thành luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học, khoa

Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh ñã tạo ñiều kiện học

tập tốt nhất cho chúng tôi.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn ñến các bạn và các anh chị cùng lớp didactic toán

khóa 18 ñặc biệt là anh Đinh Quốc Khánh về những sẻ chia và giúp ñỡ trong thời

gian học tập và làm luận văn.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn ñến gia ñình và những người bạn vì những sự

quan tâm và ñộng viên giúp tôi hoàn thành khóa học.

Lê Thị Huyền.

DANH MỤC VIẾT TẮT

SGK : Sách giáo khoa.

SGV : Sách giáo viên.

KNV : Kiểu nhiệm vụ.

T1 : Giáo trình “A first Course in Complex Analysis” của Matthias

Beck, Gerald Marchesi, and Dennis Pixton.

T2 : Giáo trình “Introduction to complex analysis” của W W L Chen.

T3 : giáo trình “Số phức” của TS Nguyễn Văn Đông, giáo trình dành

cho sinh viên sư phạm.

[P] : Mathématiques 12ème, Ministère de l’Éducation et de la formation,

Hanoi 2002.

M1

: TRẦN VĂN HẠO (tổng chủ biên), Giải tích 12, Nhà xuất bản giáo

dục.

M2

: ĐOÀN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản

giáo dục.

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc

BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN

Tôi tên: Lê Thị Huyền

Ngày sinh: 12/04/1985 Nơi sinh: Quảng Ngãi

Là học viên cao học chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học Toán khóa: 18

Tôi đã bảo vệ luận văn thạc sĩ với đề tài: “Số phức và ý nghĩa hình học trong chương

trình phổ thông”

tại hội đồng chấm luận văn ngày 20 tháng 01 năm 2010

Tôi đã sửa chữa và hoàn chỉnh luận văn đúng với các góp ý, yêu cầu của Hội đồng và

ủy viên nhận xét, gồm các ý chính như sau:

+ Phát biểu lại giả thuyết H3 thành: “Việc thiếu vắng định nghĩa hai số phức bằng nhau

dưới dạng lượng giác gây khó khăn cho học sinh trong việc giải phương trình trong tập số

phức bằng dạng lượng giác.”

+ Phát biểu lại Q4: “ Những khó khăn, những quan niệm sai lầm nào học sinh thường

mắc phải khi học số phức? Những hợp đồng nào được hình thành giữa giáo viên và học

sinh khi dạy học số phức”

+ Thêm một chiến lược trong phần phân tích thực nghiệm bài thực nghiệm số 3.

+ Sửa một số lỗi chính tả, một số phần diễn đạt ý….

Nay tôi xin báo cáo đã hoàn thành sữa chữa luận văn như trên và đề nghị Hội đồng

chấm luận văn, cán bộ hướng dẫn xác nhận.

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 07 tháng 3 năm 2011

Học viên

Lê Thị Huyền

Xác nhận của cán bộ hướng dẫn Xác nhận của chủ tịch Hội đồng

Nguyễn Chí Thành

1

MỞ ĐẦU

1. Ghi nhận ban ñầu và câu hỏi xuất phát:

Khái niệm số phức ñược ñưa vào cuối chương trình Toán giải tích lớp 12, sau

khi hoàn thành chương Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng.

Như ta ñã biết, mọi phương trình bậc hai với hệ số thực 2 Ax Bx C + + = 0 mà

biệt thức ∆ < 0 ñều không có nghiệm thực, sự phát triển của khoa học nói chung

và toán học nói riêng ñòi hỏi phải mở rộng tập hợp các số thực thành một tập hợp

số mới gọi là tập hợp các số phức, trong ñó các phép tính cộng và nhân các số

phức với các tính chất tương tự phép toán cộng và nhân các số thực sao cho các

phương tình nói trên ñều có nghiệm.

Ở chương trình phổ thông, số phức ñã xuất hiện từ rất lâu trong chương trình

toán ở nhiều nước trên thế giới. Tuy nhiên ở Việt Nam, ñối tượng số phức ñược

ñưa vào giảng dạy trong chương trình SGK trước cải cách giáo dục và phân ban

thí ñiểm năm 1998. Sau ñó ñến năm học 2008-2009 mới ñưa vào. Như vậy có một

sự ngắt quãng. Tại sao có sự khác biệt và ngắt quãng này? Vị trí và vai trò của

khái niệm số phức trong chương trình phổ thông Việt Nam giống và khác nhau

như thế nào so với các nước khác? Ý nghĩa hình học của nó ñược ñưa ra như thế

nào?

Những ghi nhận ban ñầu nói trên ñưa chúng tôi ñến việc ñặt ra các câu hỏi sau:

Q1’: Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức ñã ñược hình thành và phát

triển như thế nào?

Q2’: Trường số phức ñược xây dựng như thế nào ở bậc ñại học?

Q3’: Số phức ñược ñưa vào chương trình toán THPT với mục tiêu gì? Nó ñược

tiếp cận ra sao? Ý nghĩa hình học của nó ñược ñề cập như thế nào và các ứng dụng

của nó ra sao? Có sự tương ñồng hay khác biệt nào giữa lịch sử và hệ thống dạy

học?

2

Q4:’ Những ràng buộc của hệ thống dạy học ảnh hưởng như thế nào trên giáo

viên và học sinh về khái niệm số phức?

Q5’: Học sinh hiểu như thế nào về khái niệm số phức; những khó khăn học

sinh thường gặp phải khi học tập những kiến thức về số phức; có những hợp ñồng

nào hình thành trong giáo viên và học sinh không; có những quan niệm sai lầm

nào của học sinh trong khi học số phức?

2. Khung lý thuyết tham chiếu:

Chúng tôi ñặt mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán. Cụ thể chúng

tôi sử dụng thuyết nhân chủng học, hợp ñồng dạy học với các khái niệm sau:

2.1. Chuyển ñổi Didactic:

Trong nhà trường phổ thông, ñối với một môn học, người ta không thể dạy cho

học sinh toàn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại ñã tích lũy ñược trong lịch sử.

Hơn nữa, ñể tri thức bộ môn trở nên có thể dạy ñược, cần phải lựa chọn, sắp xếp

và tái cấu trúc lại nó theo một kết cấu logic, phục vụ cho mục tiêu dạy học xác

ñịnh. Chuyển ñổi didactic, nói khác hơn là quá trình biến ñổi một tri thức bác học

thành một ñối tượng tri thức dạy học. Việc qui ñịnh các ñối tượng cần dạy ñược

thể hiện thông qua chương trình, SGK, ñề thi, tài liệu ôn thi của Bộ giáo dục, các

tiểu ban khoa học giáo dục và các tác giả SGK.

Khái niệm này ñược vận dụng nhằm xác ñịnh khoảng cách giữa tri thức khoa

học và tri thức cần dạy ñối với khái niệm số phức. Nó cũng giúp nghiên cứu tính

hợp pháp của tri thức cần dạy và giải thích ñược một số ràng buộc của thể chế dạy

học ở trường phổ thông ñối với các kiến thức nêu trên.

2.2. Quan hệ thể chế

Quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác ñộng qua lại mà

thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở ñâu,

có vai trò gì và tồn tại ra sao … trong I.

3

2.3. Quan hệ cá nhân

Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác ñộng qua lại

mà cá nhân X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào

về O, có thể thao tác O ra sao?

Muốn nghiên cứu R(X, O), ta cần ñặt nó trong R(I, O).

2.4. Tổ chức toán học:

Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần

[T, , , τ θ Θ] , trong ñó T là kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải T, θ là công

nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , còn Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ .

Một praxéologie mà các thành phần ñều mang bản chất toán học ñược gọi là một

tổ chức toán học (TCTH).

Việc phân tích các TCTH liên quan ñến ñối tượng tri thức O cho phép ta làm

rõ mối quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O, từ ñó hiểu ñược quan hệ mà

các nhân X duy trì với tri thức O.

2.5. Hợp ñồng Didactic:

Hợp ñồng didactic là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ tiềm ẩn của

học sinh và giáo viên về các ñối tượng tri thức toán học. Thông thường, nó là tập

hợp các quy tắc phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành viên – học sinh

và giáo viên – về một tri thức toán học ñược giảng dạy. Hợp ñồng didactic là qui

tắc giải mã các hoạt ñộng của quá trình học tập. Chỉ có thể hiểu thấu ý nghĩa của

những gì ñịnh hướng cách ứng xử của giáo viên và học sinh khi giải thích một

cách rõ ràng và chính xác những sự kiện ñã quan sát bằng những khuôn khổ của

hợp ñồng.

3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu

Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu ñã lựa chọn, câu hỏi xuất phát

ñã ñược chúng tôi cụ thể hóa như sau:

4

Q1: Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức ñược hình thành và phát triển

như thế nào? Các mô hình hình học của nó ñược xây dựng ra sao?

Q2: Trường số phức ñược xây dựng như thế nào trên bậc ñại học?

Q3: Số phức ñược ñưa vào chương trình trung học phổ thông với mục tiêu gì?

Nó ñược tiếp cận ra sao? Sự ràng buộc của thể chế có ảnh hưởng như thế nào ñến

việc dạy và học của giáo viên và học sinh về khái niệm số phức?

Q4: “ Những khó khăn, những quan niệm sai lầm nào học sinh thường mắc

phải khi học số phức? Những hợp ñồng nào ñược hình thành giữa giáo viên và học

sinh khi dạy học số phức”

4. Mục ñích và phương pháp nghiên cứu.

Mục ñích nghiên cứu của chúng tôi là ñi tìm câu trả lời cho những câu hỏi ñã

ñặt ra ở mục 2. Để ñạt ñược mục ñích ñề ra, chúng tôi xác ñịnh phương pháp

nghiên cứu như sau:

- Tìm hiểu quá trình hình thành và phát triển của số phức trong lịch sử toán

học, trong ñó làm rõ mối liên hệ giữa hình học và số phức. Số phức ñược xây

dựng như thế nào, các mô hình hình học của số phức ñược các nhà toán học xây

dựng như thế nào?

- Tìm hiểu việc xây dựng số phức trong các giáo trình ñại học. Cụ thể là giáo

trình của Mỹ, Anh và Việt Nam. Từ ñó làm tham chiếu cho việc nghiên cứu thể

chế trong chương sau.

- Phân tích chương trình và sách giáo khoa Song ngữ Pháp Việt về vấn ñề số

phức ñể thấy ñược mong muốn của thể chế ñưa ra ở ñây là gì? Từ ñó so sánh với

thể chế dạy học toán ở Việt Nam về khái niệm số phức.

- Xây dựng và tiến hành thực nghiệm ñối với học sinh ñể cho phép tìm câu

trả lời cho các giả thuyết nghiên cứu ñã ñặt ra.

5

5. Tổ chức của luận văn.

Luận văn gồm 6 phần: Phần mở ñầu, 4 chương và phần kết luận chung.

Trong phần mở ñầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban ñầu, khung lý

thuyết tham chiếu; mục ñích và phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn.

Chương 1, dành cho việc nghiên cứu khoa học luận; Vài nét về lịch sử xuất

hiện số phức; các mô hình học của số phức trong lịch sử.

Chương 2, chúng tôi giới thiệu một số quan ñiểm về xây dựng số phức trong

lịch sử và trong một số giáo trình của Mỹ, Anh và Việt Nam.

Chương 3, chúng tôi phân tích chương trình và sách giáo khoa của hai thể chế

Pháp (chương trình song ngữ) và Việt Nam về khái niệm số phức. Từ ñó so sánh

và ñưa ra một số hợp ñồng didactic, sai lầm của học sinh và các giả thuyết nghiên

cứu.

Chương 4, nghiên cứu thực nghiệm ñối với học sinh nhằm kiểm chứng các

hợp ñồng didactic và giả thuyết của luận văn.

Trong phần kết luận chung, chúng tối tóm tắt các kết quả ñã ñạt ñược ở

chương 1,2, 3 và 4 và nêu ra một số hướng mở ra từ luận văn.

6

Chương 1

NGHIÊN CỨU SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA NÓ TRONG

LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN.

Mở ñầu

Nghiên cứu thực hiện ở chương này với mục ñích trả lời câu hỏi Q1: “Trong

lịch sử toán học, khái niệm số phức ñược hình thành và phát triển như thế nào?

Các mô hình hình học của nó ñược xây dựng ra sao?”.

Chúng tôi tiến hành nghiên cứu, phân tích và tổng hợp một số tài liệu về sự

hình thành và phát triển của toán học nói chung cũng như số phức nói riêng.

Các tài liệu chúng tôi chọn làm tư liệu trong chương này gồm có:

1. LÊ THỊ HOÀI CHÂU – LÊ VĂN TIẾN (2003), Vai trò của phân tích

khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn

Toán, Báo cáo tổng kết ñề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, tp Hồ Chí Minh.

2. HOWARD EVES (NGUYỄN TẤT THẮNG dịch) (1993), Giới thiệu lịch

sử toán học, Nhà xuất bản khoa học kĩ thuật, công ty sách thiết bị trường học

thành phố HCM.

3. NGUYỄN CẢNH TOÀN (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen

dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất bản giáo dục.

4. NGUYỄN CANG (2004), Những nhà toán học Triết học, Nhà xuất bản

ñại học quốc gia thành phố HCM.

5. NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử toán học, Nhà xuất bản trẻ.

6. WILLIAM P.BERLINGHOFF and FERNANDO Q.GOUVÊA, Math

through the Ages, a gentle history for teachers and others.

7. Remark on the history of Complex Numbers

8. FLORIAN CAJORI, A history of Mathematics, The Macmillan Company,

London 1909.

7

1. Vài nét về lịch sử xuất hiện số phức

Trong cuốn “The Great Art” xuất bản năm 1545, Cardano ñưa ra vấn ñề về

việc tìm hai số sao cho tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng là 40. Theo

những kiến thức lúc bấy giờ thì không tồn tại hai số ñó nhưng Cardano chỉ ra rằng

nếu bỏ qua sự vô lý của các kí hiệu thì hai số có dạng 5 15 + − và 5 15 − − quả

thực có tổng là 10 và tích là 40. Nhưng ông chỉ ñưa ra một cách qua loa những

dạng này như là một “trò chơi vô nghĩa” của những “kẻ rỗi việc”. Trong một cuốn

sách khác, ông nói rằng 9 cũng là 3 hay -3 và −9 cũng là +3 hay -3 nhưng

chúng là “số 3 không có gì cả”.

Trong một ví dụ ñầu thế kỉ 17, Descartes lưu ý rằng khi tìm giao ñiểm của một

ñường tròn và một ñường thẳng ta phải giải một phương trình bậc hai. Công thức

nghiệm của phương trình bậc hai dẫn ñến căn bậc hai của số âm khi ñường thẳng

trong thực tế không cắt ñường tròn. Vì vậy trong hầu hết các phần, sự cảm nhận có

sự xuất hiện của nghiệm “không thể” hay “nghiệm ảo” thì ñơn giản là câu trả lời

cho phương trình không có bất kì nghiệm nào.

Thành tựu lớn nhất của Cardano là tìm công thức giải cho phương trình bậc ba.

Cho một phương trình dạng 3

x px q + + = 0 , công thức nghiệm của Cardano ñược

viết lại bằng ngôn ngữ hiện ñại là:

2 3 2 3

3 3

2 4 27 2 4 27

q q p q q p

x = − + + + − − + . Công

thức này dùng cho mọi phương trình bậc 3 (phương trình dạng 3 2 x ax bx c + + + = 0

có thể ñưa về dạng trên bằng cách ñặt 2

1

3

x z a = − . Khi ñó phương trình trên trở

thành 3

z Bz C + + = 0 với 1 1 1 2 2 , 2

3 3 27

B c a C c ab a = − = − + ). Tuy nhiên, một vài

trường hợp gặp phải rắc rối.

Giả sử cho phương trình 3

x x = + 15 4 ta viết lại thành 3

x x − − = 15 4 0 , và áp

dụng công thức trên, ta ñược 3 3

x = + − + − − 2 121 2 121 .

8

Dựa vào những ñiều ñã biết khi giải phương trình bậc hai, dường như kết luận

ñúng nhất trong trường hợp này là phương trình vô nghiệm. Nhưng rõ ràng x = 4

là nghiệm của phương trình trên. Vậy kết luận trên là sai lầm.

Cardano ñã ñưa ra vấn ñề này nhưng hầu như không ai biết ñến nó. Ông ñã ñề

cập hai lần trong những cuốn sách của mình

Vào năm 1560, Bombelli ñã ñưa cách thoát khỏi những bối rối ñó. Ông tranh

luận rằng, ta có thể khai triển với loại “căn số mới” này. Để nói về căn bậc hai của

số âm, ông phát minh ra một ngôn ngữ mới lạ. Thay cho việc nói 2 121 + − là 2

cộng căn trừ 121, thì ông nói rằng 2 cộng của trừ căn của 121. Do ñó, “cộng của

trừ” trở thành mật mã cho việc cộng căn bậc hai của số âm. Tất nhiên, trừ căn bậc

hai như thế trở thành “trừ của trừ”. Vì 2 121 2 11 1 + − = + − nên ông ñề cập ñến

nó như “hai cộng của trừ 11” và giải thích qui luật của phép toán như sau:

“Cộng của trừ nhân cộng của trừ thành trừ

Trừ của trừ nhân trừ của trừ là trừ.

Cộng của trừ nhân trừ của trừ là cộng”

Theo ngôn ngữ hiện ñại, có nghĩa: i i i i i i × = − − × − = − × − = 1; 1 ; 1

Nhưng Bombelli không thực sự nghĩ về “căn số mới” này như là một số. Đúng

hơn, ông dường như ñưa ra những qui tắc mà cho phép ông chuyển những công

thức phức tạp như 3 3 2 121 2 121 + − − + − về những biểu thức ñơn giản hơn.

Ông ñưa ra ( )

3

2 1 2 121 ± − = ± − .

Vì vậy, ( ) ( )

3 3 2 121 2 121 2 1 2 1 4 + − + − − = + − + − − = . Đây là nghiệm của

phương trình bậc ba, và bắt ñầu theo hướng này, ông tìm ñược nghiệm của phương

trình bậc 3. Những công trình của Bombelli cũng chỉ ra rằng thỉnh thoảng việc tìm

căn bậc hai của số âm cũng cần thiết cho việc tìm nghiệm thực của phương trình.

Nói cách khác, ông chỉ ra rằng sự xuất hiện của những biểu thức như thế không

luôn là những tín hiệu cho những phương trình không thể giải ñược. Đây là dấu