Số phức và ứng dụng vào giải toán phổ thông trung hoc.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THỦY TIÊN

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN

PHỔ THÔNG TRUNG HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG, 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THỦY TIÊN

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN

PHỔ THÔNG TRUNG HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

ĐÀ NẴNG, 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn hoàn toàn là trung thực và chưa

từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thủy Tiên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ..................................................................................................1

1. Lý do chọn đề tài...................................................................................1

2. Mục đích nghiên cứu.............................................................................2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................2

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.........................................................2

5. Phương pháp nghiên cứu.......................................................................2

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn...............................................................2

7. Cấu trúc luận văn...................................................................................2

CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC...........................................3

1.1. LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC..........................3

1.2. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC.....................................................................5

1.2.1. Xây dựng trường số phức...........................................................5

1.3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CÁC SỐ PHỨC .............................6

1.3.1. Phép cộng ...................................................................................6

1.3.2. Phép trừ ......................................................................................6

1.3.3. Phép nhân ...................................................................................6

1.3.4. Phép chia ....................................................................................6

1.3.5. Lũy thừa bậc n của số phức ........................................................7

1.3.6. Căn bậc hai của số phức và giải phương trình bậc hai ..............7

1.3.7. Căn bậc n....................................................................................8

1.3.8. Định lí.........................................................................................8

1.3.9. Mô tả một số kết quả hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức....8

1.4. CÁC DẠNG BIỂU DIỄN SỐ PHỨC……………………………...14

1.4.1. Biểu diễn số phức dưới dạng cặp số thực .....................................14

1.4.2. Biểu diễn số phức dưới dạng đại số ..............................................15

1.4.3. Biểu diễn hình học của số phức ....................................................15

1.4.4. Biểu diễn số phức dưới dạng ma trận ...........................................16

1.4.5. Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác và dạng mũ...................17

CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG

TRUNG HỌC ................................................................................................24

2.1. ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC.................................................24

2.1.1. Các bài toán về chứng minh tính chất hình học và tính toán........25

2.1.2. Các bài toán về tính chất thẳng hàng, đồng quy. ..........................33

2.1.3. Các bài toán về quan hệ song song, vuông góc ...........................36

2.1.4. Các bài toán về đại lượng hình học..............................................40

2.1.5. Các bài toán về xác định tập hợp điểm. .......................................42

2.2. ỨNG DỤNG TRONG LƯỢNG GIÁC ...........................................49

2.2.1. Các bài toán về tính toán..............................................................49

2.2.2. Các bài toán về chứng minh đẳng thức, công thức lượng giác.....51

2.2.3. Các bài toán về phương trình lượng giác......................................55

2.3. ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ VÀ TOÁN TỔ HỢP.....................59

2.3.1. Các bài toán về chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức .................59

2.3.2. Các bài toán về chứng minh công thức đại số, tổ hợp…………………62

2.3.3. Các bài toán về giải phương trình, hệ phương trình .....................66

KẾT LUẬN ............................................................................................81

TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................82

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

DANH MỤC HÌNH VẼ

Tên hình Trang

1.1 9

1.2 13

1.3 13

1.4 18

1.5 18

1.6 21

1.7 22

2.1 26

2.2 29

2.3 30

2.4 31

2.5 37

2.6 40

2.7 41

2.8 42

2.9 46

2.10 47

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Số phức xuất hiện từ thế kỷ XIX do nhu cầu phát triển của Toán học về

giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học

tiến lên mạnh mẽ, giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật.

Trong chương trình đổi mới nội dung sách giáo khoa, số phức được đưa

vào chương trình Toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Mục

tiêu chính của việc đưa nội dung số phức vào chương trình môn toán ở trường

phổ thông trung học là hoàn thiện hệ thống số và khai thác một số ứng dụng

khác của số phức trong Đại số, trong Hình học và trong Lượng giác. Một số

bài toán nếu chỉ xét trong tập số thực, việc tìm ra lời giải sẽ rất phức tạp, khó

khăn. Sử dụng những tính chất riêng biệt của số phức sẽ giúp ta tìm ra cách

giải hiệu quả cho một số dạng toán thường gặp ở bậc phổ thông trung học

đồng thời giúp học sinh khắc sâu, tổng hợp, hệ thống hóa được kiến thức cơ

bản, dạng toán quen thuộc, giải quyết được một số bài toán khó, phức tạp

chưa có thuật toán.

Tuy nhiên, đối với học sinh bậc phổ thông trung học thì số phức là một

nội dung còn mới mẻ. Với thời lượng không nhiều, học sinh mới chỉ biết được

những kiến thức còn rất cơ bản của số phức. Vì vậy, việc khai thác các ứng

dụng của số phức như một phương tiện để giải các bài toán còn rất hạn chế.

Với mong muốn tổng quan một số kiến thức cơ bản về số phức, tìm hiểu

sâu hơn các ứng dụng của số phức vào giải các bài toán trong chương trình

toán bậc phổ thông trung học nhằm đưa số phức trở thành công cụ giải toán và

được sự định hướng của PGS. TS. Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài “Số phức

và ứng dụng vào giải toán phổ thông trung học” làm đề tài luận văn thạc sĩ của

mình.

2

2. Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu số phức, các dạng biểu diễn của số phức.

- Ứng dụng vào việc giải một số bài toán của chương trình phổ thông

trung học, từ đó giúp HS thấy được ý nghĩa quan trọng của số phức trong

Toán học nói chung và trong giải toán nói riêng.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc sử dụng số phức như

một công cụ để giải toán, phân loại các dạng bài toán có thể sử dụng số phức

để giải được và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu của đề tài là số phức, các dạng biểu diễn của số

phức, một số bài toán của chương trình phổ thông trung học có thể sử dụng số

phức để giải được.

- Phạm vi nghiên cứu của đề tài là ứng dụng của số phức trong việc giải

một số bài toán của chương trình phổ thông trung học.

5. Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu

liên quan đến số phức và các ứng dụng của nó.

- Trao đổi và tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn luận văn.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

- Nâng cao kiến thức, kĩ năng sử dụng công cụ số phức nhằm đưa ra

cách giải hiệu quả cho một số dạng toán thường gặp ở trường phổ thông trung

học .

- Góp phần phát huy tính tư duy và tự học của học sinh.

7. Cấu trúc luận văn

Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận gồm 2 chương:

Chương 1. Giới thiệu về số phức.

Chương 2. Ứng dụng số phức vào giải toán phổ thông trung học.

3

CHƯƠNG 1

GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức liên quan về

số phức, lịch sử hình thành khái niệm số phức, các phép toán trên tập hợp số

phức, các dạng biểu diễn của số phức… Các kiến thức trình bày ở đây chủ

yếu được tham khảo tại các tài liệu [1], [4], [6], [9].

1.1. LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC

Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI. Đó là thời kì Phục hưng của

toán học châu Âu sau đêm trường trung cổ. Các đại lượng ảo

-1, b -1, 1 a b + - xuất hiện đầu tiên từ thế kỉ XVI trong các công trình của

của các nhà toán học Italy “Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số”

(1545) của G. Cardano (1501 – 1576) và “Đại số” (1572) của R. Bombelli

(1530 – 1572).

Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí

hiệu -1 là lời giải hình thức của phương trình 2

x + =1 0 . Xét biểu thức

b -1 là nghiệm hình thức của phương trình 2

x b + =0 . Khi đó biểu thức tổng

quát hơn có dạng a + b b - ¹ 1, 0 có thể xem là nghiệm hình thức của phương

trình 2 2 (x - a b ) 0 + = .

Về sau biểu thức dạng a + b b - ¹ 1, 0 xuất hiện trong quá trình giải

phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo”

và sau đó được Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là a + ib , trong

đó kí hiệu i = -1 được L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”. Ta

có hệ thức

2

i = -1 là định nghĩa số mới i cho phép ta đưa vào xét số phức.

4

Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại

chính là nhà toán học Italy R. Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã

định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng

tạo nên lí thuyết các số “ảo”.

Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K. Gauss (năm 1831). Vào

thế kỉ XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính

chất của đại lượng ảo (số phức) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng

hạn L. Euler (1777 – 1855) nhà toán học Đức mở rộng khái niệm logarit cho

số phức bất kì (1738), còn A. Moivre (1667 – 1754) nhà toán học Anh nghiên

cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736).

Lý thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số

thực có thứ tự (a,b), a b Œ Œ ° ° , được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là

W.Hamilton (1837). Ở đây đơn vị “ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có

thứ tự - cặp (0;1), tức là đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện thực.

Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng

một cách vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với

phép chứng minh chính xác đầu tiên đối với định lí cơ bản của Đại số khẳng

định rằng trong trường số phức £ mọi phương trình đa thức đều có nghiệm.

Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của

trường mở rộng (đại số) £ của trường số thực ° thu được bằng phép ghép

đại số cho ° nghiệm i của phương trình 2

x + =1 0 .

Với định lí cơ bản của Đại số, Gauss đã chứng minh được trường số

phức£ là một trường đóng đại số. Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của

phương trình đại số trong trường này ta không thu được thêm số mới. Nhìn lại

hơn 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, con đường phát triển khái niệm về số

có thể tóm tắt bởi • Æ ¢ ÆÆÆ § ° £ với các bao hàm thức:

• Æ ¢ ÆÆÆ § ° £ .

5

1.2. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC

1.2.1. Xây dựng trường số phức

Giả sử trường £ chứa như một trường con mà phương trình 2

x + =1 0

có nghiệm trong nó, khi đó £ phải có một phần tử i để 2

i = -1 . Vì ° £ Ã

nên £ chứa tất cả các phần tử dạng a + Œ ib; , a b ° . Do đó, một cách tự

nhiên ta xét tập £ các cặp số thực (a,b): £ ° = Œ {(a,b):a b, }.

Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng

£ trở thành một trường chứa ° như một trường con (qua phép đồng nhất nào

đó). Các phép toán này được dẫn dắt từ các phép toán của trường ° với chú ý

2

i = -1:

i. Quan hệ bằng nhau: (a,b) = (c,d) , ¤ a = = c b d .

ii. Phép cộng: (a,b) + (c,d) = (a + + c, ) b d .

iii. Phép nhân: (a,b).(c,d) = (ac - + bd, ) ad bc .

Tập hợp £ với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác định như

trên lập thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau:

1) £ chứa trong £ như một trường con (qua đồng nhất aŒ° với

(a,0)Σ).

2) Tồn tại nghiệm của phương trình

2

x + =1 0 trong £ .

1.2.2. Định nghĩa

·

Trường £ được xây dựng như trên được gọi là trường số phức.

· Mọi phần tử của £ được gọi là số phức.

· Vậy " Œz £, ta có

z = (a,b) = a.(1,0) + b.(0,1) = a + ib," Œ a b, . °

Đây là dạng đại số của số phức z, trong đó:

a được gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu là Rez.

b được gọi là phần ảo của số phức z kí hiệu là Imz.