Số phức và một số ứng dụng trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HUỲNH QUẾ ĐAN

SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

TRONG TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2022

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HUỲNH QUẾ ĐAN

SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

TRONG TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 8460113

Người hướng dẫn: TS. DƯƠNG THANH VỸ

Bình Định - Năm 2022

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn "Số phức và một số ứng

dụng trong toán sơ cấp" là do bản thân thực hiện theo logic riêng dưới

sự hướng dẫn của TS. Dương Thanh Vỹ. Các nội dung và kết quả sử dụng

trong luận văn đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc rõ ràng.

Bình Định, tháng 7 năm 2022

Học viên

Huỳnh Quế Đan

i

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

1 Một số kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Biểu diễn hình học của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Môđun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Các phép toán trên tập số phức . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6.1 Phép cộng và phép trừ số phức . . . . . . . . . . . . 10

1.6.2 Phép nhân số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.3 Phép chia cho số phức khác 0 . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.4 Lũy thừa nguyên của số phức . . . . . . . . . . . . . 13

2 Về bài toán cực trị số phức 14

2.1 Sử dụng bất đẳng thức để giải các bài toán cực trị số phức . 14

2.1.1 Bất đẳng thức tam giác dạng đại số . . . . . . . . . 14

2.1.2 Bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunyakovsky . 19

2.2 Sử dụng phương pháp hình học để giải các bài toán cực trị

số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.2 Một số dạng thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . 25

ii

3 Ứng dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức 37

3.1 Ứng dụng bất đẳng thức về môđun của số phức . . . . . . . 37

3.2 Ứng dụng tính chất nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . 42

4 Ứng dụng số phức để giải các bài toán về đa thức 48

4.1 Xác định đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Bài toán về sự chia hết của đa thức . . . . . . . . . . . . . 59

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1

MỞ ĐẦU

Số phức không những có nhiều ứng dụng trong Cơ học, Vật lý học và

các ngành khoa học kỹ thuật công nghệ mà còn đóng vai trò như là một

công cụ đắc lực nhằm giải quyết hiệu quả nhiều bài toán của hình học,

giải tích, đại số, số học và toán tổ hợp. Ngoài ra, các tính chất cơ bản của

số phức và biến phức còn được sử dụng trong toán cao cấp, toán ứng dụng

và trong nhiều mô hình thực tế.

Trong những năm gần đây, có khá nhiều bài toán hay và khó về số phức

hoặc ứng dụng số phức xuất hiện trong các kì thi trung học phổ thông

quốc gia, Olympic khu vực và Olympic quốc tế. Để giải được các bài toán

này, học sinh cần được trang bị đầy đủ và sâu sắc các kiến thức, kỹ thuật

đặc thù về số phức.

Với mục đích muốn tìm hiểu về số phức, các ứng dụng của số phức

trong việc giải các bài toán sơ cấp và đáp ứng mong muốn của bản thân

về một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy của mình ở trường trung học

phổ thông nên học viên đã chọn đề tài “Số phức và một số ứng dụng

trong toán sơ cấp” để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình.

Luận văn này tập trung tìm hiểu, trình bày các bài toán về số phức

hoặc ứng dụng số phức xuất hiện trong các kì thi trung học phổ thông

quốc gia, các kì thi học sinh giỏi. Từ đó, tổng hợp các phương pháp và kỹ

thuật thường dùng để giải một số bài toán về cực trị số phức và một số

ứng dụng của số phức trong các bài toán sơ cấp.