Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Số phức và ứng dụng trong các bài toán số học và tổ hợp
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
HOÀNG QUANG TRÀ
SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
TRONG CÁC BÀI TOÁN
SỐ HỌC VÀ TỔ HỢP
Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số : 60. 46. 40
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
ĐÀ NẴNG - NĂM 2013
Luận văn được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
Phản biện 1:PGS.TSKH. TRẦN QUỐC CHIẾN
Phản biện 2:PGS.TS. HUỲNH THẾ PHÙNG
Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ Phương pháp Toán sơ cấp họp tại Đại học Đà Nẵng vào
ngày 25 tháng 5 năm 2013
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
– Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
– Thư viện trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Số phức là một nội dung quan trọng và lý thú. Hiện nay, ở
chương trình toán học bậc Trung học phổ thông của hầu hết các
nước trên thế giới đều có kiến thức phần số phức. Ở nước ta, sau
nhiều lần cải cách thì nội dung số phức cũng đã được đưa vào
chương trình Giải tích 12 tuy còn rất đơn giản nhưng bước đầu
đã giúp học sinh tiếp cận với số phức và hoàn thiện tập số.
Ứng dụng của số phức rất rộng rãi không những trong toán
học mà còn trong nhiều ngành khoa học khác. Đặc biệt trong toán
học thì số học và tổ hợp là hai mảng lớn, khó và rất quan trọng.
Việc sử dụng số phức để giải những bài toán số học và tổ hợp,
không những giúp ta có thêm một công cụ hiệu quả để giải toán
mà trong nhiều bài toán sẽ giảm đi mức độ khó của bài toán. Vì
vậy, với đề tài của luận văn: “Số phức và ứng dụng trong các bài
toán số học và tổ hợp”. Luận văn đi sâu vào nghiên cứu ứng dụng
của số phức trong các bài toán số học và tổ hợp.
2. Mục tiêu của đề tài
Nêu một số lý thuyết và kết quả cơ bản của số phức, đi sâu
vào nghiên cứu ứng dụng của số phức trong các bài toán số học
và tổ hợp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu những vấn đề sau:
Nghiên cứu về lý thuyết và một số kết quả cơ bản của số phức,
của số học, tổ hợp.
Nghiên cứu về ứng dụng của số học trong các bài toán tổ hợp.
Nghiên cứu về ứng dụng của số học trong các bài toán số học.
Trong mỗi phần sẽ đưa vào các ví dụ minh họa và một số bài
toán tiêu biểu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là số phức và ứng dụng của
số phức trong các bài toán số học và tổ hợp. Phạm vi nghiên cứu
của đề tài là các bài toán số học và tổ hợp có thể dùng công cụ số
phức để giải quyết.
5. Phương pháp nghiên cứu
1. Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.
2. Thu thập tài liệu, các bài báo khoa học của các tác giả
nghiên cứu liên quan đến ứng dụng của số phức trong các bài
2
toán số học và tổ hợp, trao đổi qua email, với các chuyên gia về
ứng dụng của số phức trong các bài toán số học và tổ hợp .
3. Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.
4. Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan
đến ứng dụng của số phức trong số học và tổ hợp nhằm xây dựng
một tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm về vấn đề này. Bên
cạnh đó, luận văn đưa ra nhiều đề thi học sinh giỏi quốc gia, học
sinh giỏi quốc tế nhằm làm tài liệu tham khảo cho các em học
sinh chuyên toán.
7. Cấu trúc luận văn
Nội dung: Luận văn sẽ được trình bày trong 3 chương:
– Chương 1: Một số lý thuyết và kết quả cơ bản
– Chương 2: Ứng dụng của số phức trong các bài toán tổ hợp
– Chương 3: Ứng dụng của số phức trong các bài toán số học
3
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ LÝ THUYẾT VÀ KẾT QUẢ CƠ
BẢN
1.1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
Định nghĩa 1.1. Số phức là một biểu thức dạng a + bi trong đó
a, b ∈ R và số i thỏa mãn i
2 = −1, kí hiệu z = a + bi.
* Với số phức z = a + bi thì i được gọi là đơn vị ảo, a gọi là
phần thực (ký hiệu là Re z) và b gọi là phần ảo (ký hiệu là Im z).
Phần ảo cũng như phần thực của số phức là những số thực.
* Tập hợp các số phức kí hiệu là C.
Định nghĩa 1.2. Hai số phức z = a+bi, z
0
= a
0
+b
0
i (a, b, a0
, b0
∈
R) bằng nhau khi và chỉ khi a = a
0
; b = b
0
,
kí hiệu z = z
0
.
1.2. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
1.2.1 Số phức dưới dạng lượng giác
Dạng lượng giác của số phức z 6= 0 là
z = r(cos ϕ + isin ϕ), (1.1)
với r > 0, ϕ là một acgumen của z, được xác định bởi số đo của
mỗi góc lượng giác với tia đầu là tia Ox, tia cuối là tia OM (M là
điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng phức). Argumen
của số phức z được đo bằng radian, mọi argumen của z sai khác
nhau là k2π tức là có dạng ϕ + k2π (k ∈ Z).
Ta có z = a + bi ⇔ z = r (cos ϕ + isin ϕ),
trong đó r =
√
a
2 + b
2; cos ϕ =
a
r
; sin ϕ =
b
r
.
Với z = a + bi(a, b ∈ R) là dạng đại số của số phức z.
1.2.1 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác
Cho z = r(cos ϕ + isin ϕ) và z
0
= r
0
(cos ϕ
0
+ isin ϕ
0
) với
r, r
0
> 0. Khi đó
z.z0 = r.r0
[cos(ϕ + ϕ
0
) + isin(ϕ + ϕ
0
)];
z
z
0
=
r
r
0
[cos(ϕ − ϕ
0
) + isin(ϕ − ϕ
0
)],(r
0
6= 0)
4
Nhận xét 1.1. Để tìm dạng lượng giác r(cos ϕ + isin ϕ) của số
phức z = a + bi(a, b ∈ R) khác 0 cho trước ta phải
a) Tìm r: r = |z| =
√
a
2 + b
2,(r = OM)
b) Tìm ϕ: acgumen của z(ϕ ∈ R), sao cho cos ϕ =
a
r
và sin ϕ =
b
r
, ϕ =sđ (Ox,OM)
Nhận xét 1.2.
* Muốn nhân các số phức dưới dạng lượng giác, ta nhân các
môđun và cộng các acgumen.
* Muốn chia các số phức dưới dạng lượng giác ta chia các
môđun và lấy hiệu các acgumen.
* Nếu các điểm M, M
0
theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z
0
6=
0 thì acgumen của z
z
0
là số đo của góc lượng giác (OM, OM0
).
1.3. CÔNG THỨC MOA -VRƠ (MOIVRE)
Có thể nói công thức De – Moivre là một trong những công
thức thú vị và là nền tảng cho một loạt công thức quan trọng khác
sau này như phép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler.
Cho số phức z = r(cos ϕ + isin ϕ), khi đó
[r(cos ϕ + isin ϕ)]n = r
n
(cos nϕ + isin nϕ)(n ∈ N
∗
). (1.2)
Chú ý 1.1.
* Ta có thể dùng công thức nhân để chứng minh công thức
Moivre.
Dùng công thức nhân với z = z1 = z2 = ... = zn được
z
n = r.r...r
| {z }
n
cos(ϕ + ϕ + ... + ϕ)
| {z }
n
+isin (ϕ + ϕ + ... + ϕ)
| {z }
n
= r
n
(cos nϕ + isin nϕ)
* Dùng công thức Moivre đồng thời khai triển nhị thức NewTon ta có thể biểu diễn cos nx,sin nx theo cos x,sin x
1.4. DẠNG MŨ CỦA SỐ PHỨC
Để giản đơn cách viết các số phức ta đặt
cos ϕ ± isin ϕ = e
±iϕ
. (1.4)
5
Dạng lượng giác (1.1) được biến đổi thành dạng mũ
z = reiϕ
, (1.5)
đó là dạng số mũ của số phức z 6= 0.
Phép nâng số phức z = a + bi = r(cos ϕ + isin ϕ) lên lũy
thừa bậc n đối với số phức được thực hiện theo công thức Moivre.
z
n = r
n
e
inϕ
, (1.6)
Căn bậc n của số phức có n giá trị là
ωk =
√n
z =
√n
rei
ϕ+2kπ
n , k = 0; n − 1 (1.7)
Cách đặt trong (1.4) cho ta công thức Euler, ta viết lại công
thức Euler
e
iϕ = cos ϕ + isin ϕ. (1.8)
1.5. MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ
Ta luôn giả thiết rằng p là số nguyên tố lẻ trừ những trường
hợp được chỉ rõ.
Kết quả 1.1. Đặt ε = cos
2π
n
+ isin
2π
n
. Khi đó n số phức khác
không 1, ε, ε2
, ..., εn−1
là mọi nghiệm của phương trình z
n−1 = 0.
Kết quả 1.2. Phương trình x
p = 1 có đúng p nghiệm phức phân
biệt là
xk = cos
2kπ
p
+ isin
2kπ
p
, k = 0, 1, ..., p − 1 ,
và phương trình x
p−1 + x
p−2 + ... + x + 1 = 0 có đúng p-1 nghiệm
phân biệt là xk = cos
2kπ
p
+ isin
2kπ
p
, k = 1, 2, ..., p − 1.
Kết quả 1.3. Gọi α là một nghiệm bất kì của phương trình
x
p−1 + x
p−2 + ... + x + 1 = 0. Thì tập nghiệm của phương
trình x
p−1 + x
p−2 + ... + x + 1 = 0 là
α, α2
, α3
, ..., αp−1
và
α
n
, α2n
, α3n
, ..., α(p−1)n
là một hoán vị của
α, α2
, α3
, ..., αp−1
,
trong đó n là số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau với p.
6
Kết quả 1.4. Gọi εk = cos
2kπ
n
+ isin
2kπ
n
với k = 0; n − 1, n ∈
Z
+.
Xét tổng A = ε
m
0 + ε
m
1 + ε
m
2 + ... + ε
m
n−1
.
Đặt ε = cos
2π
n
+ isin
2π
n
thì εk = cos
2kπ
n
+ isin
2kπ
n
= ε
k
.
Vì ε
m = cos
2mπ
n
+isin
2mπ
n
= 1 khi và chỉ khi m
.
.
. n nên xét
hai trường hợp:
+) Nếu m
.
.
. n thì ε
m
k =
ε
k
m = (ε
m)
k = 1 nên A = n.
+) Nếu m không chia hết cho n thì ε
m 6= 1 nên
A = 1+ε
m+ε
2m+ε
3m+...+ε
(n−1)m =
1 − ε
nm
1 − εm
=
1 − (ε
n
)
m
1 − εm
= 0.
Vậy A = n nếu m là bội của n, A = 0 nếu m không là bội của
n.
Kết quả 1.5. Cho đa thức f (x) = Pn
k=0
akx
k và số nguyên dương
m. Ta có
mP−1
j=0
f
z
j
=
mP−1
j=0
Pn
k=0
akz
jk =
Pn
k=0
ak
mP−1
j=0
z
jk với z = cos
2π
m
+
isin
2π
m
. Từ
mX−1
j=0
z
jk =
(
m nếu k chia hết cho m,
0 nếu k không chia hết cho m,
Suy ra tổng của các số ak, với k chia hết cho m bằng 1
m
mP−1
j=0
f
z
j
.
Kết quả 1.6. Cho m, k là 2 số nguyên dương với m > 1, khi đó
mP−1
j=1
e
−2πkji
m =
(
m − 1 nếu k chia hết cho m,
− 1 nếu k không chia hết cho m,
với e
ti = cost + isin t với mọi số thực t.
Kết quả 1.7. Nếu {x, y, z} là một bộ số Pitago nguyên thủy thì
(x, y) = (x, z) = (y, z) =
7
Kết quả 1.8. Giả sử {x, y, z} là một bộ số Pytago nguyên thủy.
Khi đó x chẵn, y lẻ hoặc x lẻ, y chẵn.
Kết quả 1.9. (Bổ đề Lagrange). Cho p là một số nguyên tố
≡ 1(mod4). Tồn tại một số nguyên n sao cho p
n
2 + 1.
1.6. SỐ NGUYÊN PHỨC
Các số nguyên phức Gauss lần đầu tiên được sử dụng bởi
Gauss trong bài nghiên cứu của ông về sự tương hỗ bậc hai, ông
được coi là người đầu tiên sử dụng số phức trong số học một cách
rất rõ ràng và mạch lạc. Lớp các số này có tầm quan trọng nhất
định trong số học sơ cấp. Trong mục này chúng ta sẽ đề cập đến
những khái niệm và tính chất cơ bản của số nguyên Gauss (ngày
nay ta gọi là số nguyên phức).
Định nghĩa 1.3 (Xem[5]). Số phức có dạng a + bi ở đó a, b ∈ Z
được gọi là số phức nguyên(hay số nguyên Gauss).
1.6.1. Số phức nguyên và tính chất chia hết
Định nghĩa 1.4 (Xem[5]). Cho α, β ∈ Z[i] trong đó α 6= 0. Ta
nói α chia hết cho β nếu tồn tại γ ∈ Z [i] sao cho α = γ.β ( ta
cũng nói β chia hết α ). Nếu β chia hết α, ta nói β là một ước
của α và viết β |α hay α là một bội của β và viết α
.
.
.β. Số phức
nguyên ε được gọi là đơn vị nếu ε là ước của mọi số nguyên phức
α.
Định nghĩa 1.5 (Xem[5]). Chuẩn của số phức nguyên α = x+yi,
ký hiệu bởi N(α), được xác định bởi công thức
N (α) = |α|
2 = α.α = x
2 + y
2
Ta có các tính chất
Tính chất 1.1. Nếu α, β, γ ∈ Z[i] sao cho α |β, β |γ thì α |γ .
Tính chất 1.2. Nếu α, β, z1, z2 ∈ Z[i] sao cho γ |α, γ |β thì
γ |(z1α + z2β).
8
Tính chất 1.3. Chuẩn N(α) là một số tự nhiên và N(α) = 0 khi
và chỉ khi α = 0.
Tính chất 1.4. N(z) = N(z).
Tính chất 1.5. Hàm chuẩn có tính chất nhân N(αβ) = N(α)N(β).
Tính chất 1.6. Nếu α = γβ thì N(α) = N(γ)N(β). Ngoài ra,
nếu α chia hết cho β thì N(α) chia hết cho N(β).
Tính chất 1.7. Tập U tất cả các đơn vị của Z[i] là U = {±1, ±i}.
Tập U lập thành một nhóm nhân, đóng đối với phép lấy liên hợp
và số phức nguyên α là một đơn vị khi và chỉ khi N(α) = 1.
Định nghĩa 1.6 (Xem[5]). Số η gọi là một số kết hợp với µ nếu
µ = εη ở đó ε là một đơn vị. Nhân hai vế với ε ta được η = ε.µ,
do đó µ cũng là kết hợp với η. Như vậy ta có thể nói η và µ là hai
số kết hợp với nhau. Quan hệ kết hợp là một quan hệ tương đương
(có tính phản xạ, tính đối xứng và tính bắc cầu). Kí hiệu của η
kết hợp với µ là η ∼ µ.
Tính chất 1.8. Hai số nguyên phức kết hợp với nhau thì chuẩn
của chúng bằng nhau.
Tính chất 1.9. Nếu z kết hợp với t thì z kết hợp với t
Tính chất 1.10. Nếu z chia hết cho t thì mọi số kết hợp với z
đều chia hết cho mọi số kết hợp với t.
Nhận xét 1.3. Với α = a1 + b1i, β = a2 + b2i, từ các đẳng thức
N(αβ) = N(α)N(β) và N(αβ) = N(α)N(β) cho ta các đẳng
thức đã biết
(a1a2 − b1b2)
2 + (a1b2 + a2b1)
2 =
a
2
1 + b
2
1
a
2
2 + b
2
2
(a1a2 + b1b2)
2 + (a1b2 − a2b1)
2 =
a
2
1 + b
2
1
a
2
2 + b
2
2
Định lý 1.1 (Xem[5]). (Thuật chia Euclide trên vành các số
nguyên Gauss). Cho α, β là hai số phức nguyên bất kì với β 6= 0.
Khi đó tồn tại các số phức nguyên µ, δ sao cho
α = βµ + δ, 0 ≤ N (δ) < N (β). (1
9
Nhận xét 1.4. Trong thuật toán chia nói trên thì phần dư và
thương số không là duy nhất. Nói cách khác, biểu diễn trên là
không duy nhất.
Ví dụ
6 + 5i = (3 + 3i) + (3 + 2i) = 2 (3 + 3i) + (−i),
N (3 + 3i) = 18 > N (3 + 2i) = 13,
N (3 + 3i) = 18 > 1 = N (−i).
Định lý 1.2 (Xem[5]). Giả sử (α; β) = γ. Khi đó tồn tại các số
phức nguyên µ, ν sao cho αµ + βν = γ.
Nếu π là một ước chung bất kì của α và β thì π |γ.
Ví dụ 1.1. Ta lấy lại α = 6 + 5i, β = 3 + 3i ở ví dụ trên. Thuật
toán Euclide cho cặp (α, β) lầ các phép chia Euclide như sau.
Trước hết, ta thực hiện một phép chia Euclide 6 + 5i cho
3 + 3i. Như ví dụ trên, ta có thể lấy 6 + 5i = 2(3 + 3i) + (−i).
Tiếp theo thực hiện phép chia Euclide 3 + 3i cho −i.
Tất nhiên phép chia này có phần dư bằng 0 vì −i là một
phần tử đơn vị.
Cụ thể 3 + 3i = (−3 + 3i).(−i) + 0.
Vậy phần dư cuối cùng 6= 0 trong thuật chia Euclide là −i
nên −i là một ƯCLN của 6 + 5i và 3 + 3i ( Suy ra 6 + 5i và 3 + 3i
nguyên tố cùng nhau ).
Để tìm số nguyên Gauss thỏa mãn Định lý 1.2 ta dựa vào
các phép chia trong thuật toán chia Euclide ở trên, ta có
−i = 1.(6 + 5i) + (−2)(3 + 3i)
Vậy µ = 1, ν = −2 .
Định nghĩa 1.7 (Xem[5]). Cho α, β ∈ Z[i] là hai số phức nguyên
khác không. Chúng được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu tất cả các
ước chung của α và β chỉ là {±1; ±i}. Nói cách khác, nếu γ |α và
γ |β thì γ ∈ {±1; ±i}.
Định nghĩa 1.8 (Xem[5]). Cho α, β ∈ Z[i] là hai số phức nguyên
khác không. Ta nói rằng γ ∈ Z[i] là ước chung lớn nhất (ƯCLN)
của α và β và viết (α; β) = γ nếu γ là ước chung của hai số α, β
10
và chuẩn N(γ) có giá trị lớn nhất trong tập hợp chuẩn của tất cả
các ước chung của α và β.
Nhận xét 1.5. ƯCLN của hai số nguyên Gauss là không duy
nhất. Nếu γ là một ƯCLN của α, β thì mọi γ
0
∼ γ cũng là một
ƯCLN và tập
γ
0
; γ
0
∼ γ
là tập các ƯCLN của α, β.
Hệ quả 1.1. Nếu γ|αβ và γ, α nguyên tố cùng nhau, thì γ|β.
1.6.2.Số phức nguyên tố (nguyên tố Gauss) và vấn đề
phân tích các số nguyên phức
Định nghĩa 1.9 (Xem[5]). Một số phức nguyên khác đơn vị α
được gọi là một số nguyên tố Gauss nếu α không thể biểu diễn
được dưới dạng tích của hai số phức nguyên khác đơn vị. Nói cách
khác, α được gọi là một số nguyên tố Gauss nếu từ đẳng thức
α = µη ta phải có µ hoặc η là đơn vị. Nếu α không là số nguyên
tố Gauss thì ta nói α là một hợp số Gauss. Nói cách khác, α được
gọi là hợp số Gauss nếu nó có thể viết dưới dạng α = µη, với µ, η
là hai số phức nguyên khác đơn vị.
Nhận xét 1.6. Một số nguyên phức là số nguyên phức nguyên
tố nếu nó có chuẩn lớn hơn 1 và không biểu diễn được thành tích
của hai số phức có chuẩn lớn hơn 1.
Nhận xét 1.7. Nếu một số nguyên thông thường là số nguyên
tố Gauss thì chính bản thân nó phải là số nguyên tố. Tuy nhiên,
điều ngược lại không đúng. Một số nguyên tố thông thường chưa
chắc là một số nguyên tố Gauss. Ví dụ 13 là số nguyên tố thông
thường nhưng vì 13 = (3 + 2i)(3 − 2i) nên 13 là hợp số Gauss.
Tính chất 1.11. Số Gauss π là số nguyên tố Gauss khi và chỉ
khi số kết hợp với nó là số nguyên tố Gauss.
Tính chất 1.12. Số Gauss π là số nguyên tố Gauss nếu và chỉ
nếu nó chỉ chia hết cho các đơn vị và các số kết hợp với nó.
Định lý 1.3 (Xem[5]). Giả sử π là một số nguyên tố Gauss. Khi
đó, nếu π |(αβ) thì π |α hoặc π |β
Một cách tổng quát, nếu π |α1α2...αn, (n ≥ 2) thì π chia
hết một thừa số αi nào đó của tích.
11
Định lý 1.4 (Xem[5]). (Định lí cơ bản về các số phức nguyên).
Cho α là số phức nguyên khác không và đơn vị. Khi đó α có thể
biểu diễn dưới dạng
α = π1π2...πm,
trong đó πi
là các số nguyên tố Gauss. Nếu có hai biểu diễn
α = π1π2...πm = ω1ω2...ωn
thì ta phải có m = n và tồn tại một hoán vị (i1, ..., in) của
(1, 2, ..., n) sao cho πj và ωij
là hai số kết hợp với nhau (j =
1, 2, ..., n). Nghĩa là, mỗi số phức nguyên α khác không và đơn
vị có thể biểu diễn (phân tích) thành tích của các số nguyên tố
Gauss. Thêm vào đó, biểu diễn này là duy nhất, chỉ sai khác thứ
tự và các thừa số đơn vị.
Định lý 1.5 (Xem[5]). Cho α và β là hai số phức nguyên nguyên
tố cùng nhau. Giả sử αβ = γ
k
,
trong đó k ≥ 2 là một số nguyên dương. Khi đó tồn tại các số
phức nguyên α1, β1 và các đơn vị ε, δ sao cho
α = εαk
1
; β = δβk
1
.
Định lý 1.6 (Xem[5]). Cho π = a + bi là số phức nguyên khác
đơn vị. Khi đó:
1. Nếu b = 0, a 6= 0 thì π là số nguyên tố Gauss nếu và chỉ
nếu a là số nguyên tố thông thường có dạng 4k + 3.
2. Nếu a = 0, b 6= 0 thì π là số nguyên tố Gauss nếu và chỉ
nếu b là số nguyên tố thông thường có dạng 4k + 3.
3. Nếu a 6= 0, b 6= 0 thì π là số nguyên tố Gauss nếu và chỉ
nếu N(π) = a
2 + b
2
là số nguyên tố thông thường.
Vậy tập hợp tất cả các số nguyên tố Gauss gồm:
• Tất cả các số nguyên tố thông thường p có dạng 4k + 3
và các số phức nguyên kết hợp với chúng.