Số phức và ứng dụng của số phức trong lượng giác và đại số.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG

LƢỢNG GIÁC VÀ ĐẠI SỐ

GVHD : Th.S PHAN THỊ QUẢN

SVTH : NGUYỄN VỎ PHÚC HÒA

LỚP : 11ST

ĐÀ NẴNG 5/2015



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa Trang 1

GVHD: Phan Thị Quản

LỜI CẢM ƠN:

Đầu tiên, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến THS.Phan

Thị Quản, người Thầy đã luôn tận tình hướng dẫn và động viên tôi trong suốt

thời gian qua để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi xin gửi lời tri ân tới ban giám hiệu cùng tập thể giáo viên trường

ĐHĐN- ĐH Sư Phạm vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình

tham gia học tập và làm luận văn.

Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình đã luôn động viên và ở bên tôi.

Nguyễn Vỏ Phúc Hòa

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa Trang 2

GVHD: Phan Thị Quản

PHẦN MỞ ĐẦU................................................................................................... 5

1. Lý do chọn khóa luận: ................................................................................................. 5

2. Mục đích nghiên cứu................................................................................................... 5

3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................................. 5

4. Giả thiết khoa học. ...................................................................................................... 6

5. Đối tƣợng nghiên cứu. ................................................................................................ 6

6. Phƣơng pháp nghiên cứu. ............................................................................................. 6

7. Đóng góp của khóa luận................................................................................................. 6

8. Cấu trúc của khóa luận................................................................................................... 6

PHẦN NỘI DUNG ............................................................................................... 7

Chƣơng 1: SỐ PHỨC ........................................................................................................ 7

1.1. Khái niệm số phức: .............................................................................................. 7

1.2. Biểu diễn hình học của số phức : ......................................................................... 7

1.3. Cộng, trừ, nhân số phức :........................................................................................ 7

1.3.1. Phép cộng và phép trừ hai số phức :................................................................. 7

1.3.2. Phép nhân số phức : ......................................................................................... 9

1.4. Số phức liên hợp và môđun của số phức :............................................................... 9

1.4.1. Số phức liên hợp :............................................................................................. 9

1.4.2. Môđun của số phức :....................................................................................... 10

1.5. Phép chia cho số phức khác 0:.............................................................................. 10

1.6. Căn bậc hai của số phức: ...................................................................................... 11

1.7. Số phức dƣới dạng lƣợng giác :............................................................................ 12

1.7.1. Dạng lƣợng giác của số phức. ........................................................................ 12

1.7.2. Nhân chia số phức dƣới dạng lƣợng giác: ...................................................... 12

1.7.3. Công thức Moa-vrơ (Moivre) và ứng dụng : .................................................... 13

1.8. Dạng mũ của số phức :.......................................................................................... 14

CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG LƢỢNG GIÁC. ............................... 15

2.1. Tính toán và biểu diễn một số biểu thức: ............................................................... 15

2.1.1. Kiến thức sử dụng:.......................................................................................... 15

2.1.2. Bài tập áp dụng ............................................................................................... 19

2.2. Tính giá trị của một số biểu thức lƣợng giác: ......................................................... 25

2.2.1.Kiến thức sử dụng:........................................................................................... 25

2.2.2. Bài tập áp dụng: .............................................................................................. 26

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa Trang 3

GVHD: Phan Thị Quản

2.3. Tổng và tích của một dãy các biểu thức lƣợng giác:.............................................. 29

2.3.1. Kiến thức sử dụng:.......................................................................................... 29

2.3.2. Bài tập áp dụng: .............................................................................................. 29

2.4. Sử dụng số phức để giải phƣơng trình lƣợng giác : .............................................. 39

2.4.1. Kiến thức sử dụng :......................................................................................... 39

2.4.2. Bài tập áp dụng : ............................................................................................. 40

CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ. ........................... 43

3.1. Ứng dụng trong phƣơng trình: ............................................................................... 43

3.1.1. Phƣơng trình bậc hai:...................................................................................... 43

3.1.1.1. Phƣơng pháp giải phƣơng trình bậc hai có dạng...................................... 43

3.1.1.2. Bài tập áp dụng......................................................................................... 44

3.1.2.Phƣơng trình bậc ba : ...................................................................................... 45

3.1.2.1.Phƣơng pháp giải phƣơng trình bậc ba : ................................................... 45

3 2 z az b c z 0 .......................................................................................... 45

3.1.2.2. Bài tập áp dụng :....................................................................................... 47

3.1.3 Phƣơng trình bậc bốn : .................................................................................... 49

3.1.3.1. Phƣơng trình bậc bốn dạng :

4 2 z az bz c 0 ............................. 49

3.1.3.2. Phƣơng trình bậc bốn có dạng :

4 3 2 z az bz c d z 0

(*)......... 52

3.2. Ứng dụng trong việc giải hệ phƣơng trình : ........................................................... 54

3.2.1. Xây dựng các hệ phƣơng trình giải bằng ứng dụng số phức :......................... 54

3.2.2. Bài tập áp dụng : ............................................................................................. 55

3.3. Ứng dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức :.................................................. 62

3.3.1. Hƣớng giải các bất đẳng thức dùng ứng dụng số phức : ................................ 62

3.3.2. Bài tập áp dụng : ............................................................................................. 63

3.4. Ứng dụng trong việc tính tổng các biểu thức có chứa :..................................... 66

3.4.1. Khai triển cho x nhận những giá trị thích hợp hoặc khai triển trực tiếp

các số phức. ............................................................................................................. 66

3.4.1.1. Phƣơng pháp giải. .................................................................................... 66

3.4.1.2. Bài tập áp dụng :....................................................................................... 66

3.4.2. Khai triển đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số

phức thích hợp:......................................................................................................... 69

3.4.2.1. Phƣơng pháp giải: .................................................................................... 69

3.4.2.2. Bài tập áp dụng:........................................................................................ 70

3.4.3. Khai triển cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị: ................ 72

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa Trang 4

GVHD: Phan Thị Quản

3.4.3.1. Phƣơng pháp giải: .................................................................................... 72

3.4.3.2. Bài tập áp dụng :....................................................................................... 72

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa Trang 5

GVHD: Phan Thị Quản

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn khóa luận:

Số phức ra đời do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những phương

trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học phát triển mạnh mẽ

và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật. Đốivới học sinh bậc

Trung học phổ thông thì số phức là một nội dung còn mới mẻ. Với thời lượng

không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức còn rất cơ bản của

số phức. Việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt việc

sử dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán Lượng giác và Đại

số còn là một vấn đề khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất

định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của Toán học. Có nhiều tài liệu nghiên

cứu về số phức nhưng tài liệu ứng dụng số phức trong Lượng giác và Đại số

thì chưa nhiều và chưa đầy đủ về một vấn đề cụ thể mà chỉ trên cơ sở lí thuyết

chung chung và tổng quát.

Với mong muốn tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản về số phức và trên

cơ sở đó tìm hiểu sâu hơn một số ứng dụng của số phức trong việc giải các

bài toán Lượng giác và Đại số, do đó chúng tôi đã chọn khóa luận: “ Số phức

và ứng dụng của số phức trong Lƣợng giác và Đại số”

2. Mục đích nghiên cứu.

Nghiên cứu trường số phức, một số khái niệm, tính chất cơ bản của số phức.

Từ đó nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải một só bài toán trong

Lượng giác và Đại số nhằm giúp chúng ta thấy được ý nghĩa quan trọng của

số phức trong Toán học.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu kỹ cơ sở lý thuyết của số phức, sử dụng số phức vào giải một số

bài toán trong Lượng giác và Đại số, phân loại các dạng bài tập và đưa ra

phương pháp giải cho từng dạng cụ thể, sử dụng các kết quả của chúng vào

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SVTH: Nguyễn Vỏ Phúc Hòa Trang 6

GVHD: Phan Thị Quản

giải một số bài toán Lượng giác và Đại số ở phổ thông bằng nhiều phương

pháp khác nhau.

4. Giả thiết khoa học.

Nếu biết cách phân loại các bài toán trong Lượng giác và Đại số và sử dụng

số phức hợp lý sẽ giúp học sinh giải các bài toán Lượng giác và Đại số một

cách dễ dàng hơn.

5. Đối tƣợng nghiên cứu.

Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến số phức, trường số phức, khái niệm,

tính chất, các dạng biểu diễn của số phức.

Nghiên cứu các bài toán Lượng giác và Đại số có thể sử dụng số phức để giải

được.

6. Phƣơng pháp nghiên cứu.

- Nghiên cứu tài liệu.

- Phân tích, tổng hợp kiến thức.

- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn.

7. Đóng góp của khóa luận.

Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên

ngành Toán và Giáo viên phổ thông.

8. Cấu trúc của khóa luận.

Khóa luận bao gồm phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận.

Phần nội dung bao gồm các chương sau:

Chương 1: Số phức.

Chương 2: Ứng dụng của số phức vào Lượng giác.

Chương 3: Ứng dụng của số phức trong Đại số.