Số phức và ứng dụng trong hình học phẳng.

Luận văn tốt nghiệp Số phức và ứng dụng trong hình học phẳng

SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 1

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

SVTH : Nguyễn Thị Ba

LỚP : 08CTT1

GVHD : Phan Anh Tuấn

Luận văn tốt nghiệp Số phức và ứng dụng trong hình học phẳng

SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 2

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU.......................................................................................................................4

Chương 1 ..............................................................................................................................5

SỐ PHỨC, BIẾN PHỨC LỊCH SỬ VÀ CÁC DẠNG BIỂU DIỄN ................................5

1.1 LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC..................................................5

1.2 CÁC DẠNG BIỂU DIỄN SỐ PHỨC ..........................................................................9

1.2.1 Biễu diễn số phức dưới dạng cặp ................................................................9

1.2.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số.....................................................................12

1.2.3 Biểu diễn hình học của số phức.................................................................15

1.2.4 Dạng lượng giác của số phức ....................................................................16

1.2.5 Dạng mũ của số phức ................................................................................19

1.2.6 Biểu diễn số phức nhờ ma trận..................................................................19

1.2.7 Biểu diễn các số phức trên mặt cầu Riemann............................................20

Chương 2 ............................................................................................................................23

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG .....................23

2.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM HÌNH HỌC CƠ BẢN.........................................................23

2.1.1 Khoảng cách ..............................................................................................23

2.1.2 Tỉ lệ............................................................................................................24

2.1.3 Góc định hướng .........................................................................................24

2.1.4 Tích vô hướng của hai số phức: ................................................................26

2.1.5 Tích có hướng của 2 số phức.....................................................................27

2.2 MÔ TẢ CÁC PHÉP BIẾN HÌNH BẰNG NGÔN NGỮ SỐ PHỨC.......................30

2.2.1 Phép dời hình.............................................................................................30

2.2.2 Phép vị tự:..................................................................................................31

2.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.......................................................................31

2.3.1 Phương trình tổng quát ..............................................................................31

2.3.2 Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng:......................................33

Luận văn tốt nghiệp Số phức và ứng dụng trong hình học phẳng

SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 3

2.3.3 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm :.............................................33

2.4 TAM GIÁC..................................................................................................................34

2.4.1 Quan hệ đồng dạng giữa 2 tam giác: .........................................................34

2.4.2 Công thức tính diện tích ...........................................................................34

2.5 ĐƯỜNG TRÒN...........................................................................................................37

2.5.1 Phương trình tổng quát:............................................................................37

2.5.2 Phương trình đường tròn qua ba điểm......................................................38

2.5.3 Đường tròn đơn vị. ...................................................................................39

2.5.4 Đường tròn Euler.......................................................................................43

2.6 BÀI TẬP ÁP DỤNG ....................................................................................................45

2.6.1 Ứng dụng số phức vào giải toán hình học chứng minh và tính toán.........45

2.6.2 Ứng dựng số phức trong giải toán dựng hình:...........................................61

2.6.3 Ứng dụng số phức giải toán quỹ tích.........................................................65

KẾT LUẬN.........................................................................................................................69

TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................................70

Luận văn tốt nghiệp Số phức và ứng dụng trong hình học phẳng

SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 4

LỜI MỞ ĐẦU

---    ---

Do nhu cầu phát triển của toán học về giải những phương trình đại số,từ khi ra

đời, số phức đã thúc đẩy nền toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều

vấn đề của khoa học kỷ thuật.Ở nước ta sau nhiều lần cải cách ,cuối cùng số phức

đã được đưa vào chương trình Giải tích 12,tuy nhiên còn rất đơn giản,học sinh chỉ

mới biết được những kiến thức cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của

số phức còn rất hạn chế, đặc biệt việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải

các bài toán hình học là một vấn đề khó, nhưng nó lại có rất nhiều thuận lợi, nhất là

việc xem xét các vấn đề liên quan đến các phép biến hình của mặt phẳng cùng với

hình học của chúng.

Với những lí do trên tôi dã chọn đề tại nghiên cứu là : “Số phức và ứng dụng

trong hình học phẳng “

Luận văn tốt nghiệp Số phức và ứng dụng trong hình học phẳng

SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 5

Chương 1

SỐ PHỨC, BIẾN PHỨC LỊCH SỬ VÀ CÁC DẠNG BIỂU

DIỄN

1.1 LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC

Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI.Đó là thời kì Phục hưng của toán

học châu Âu sau đêm trường trung cổ. Các đại lượng ảo √−1 , ��√−1 ,a+b√−1

xuất hiện đầu tiên từ thế kỉ XVI trong các công trình của của các nhà toán học Italy

“Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số” (1545) của G. Cardano (1501 –

1576) và “Đại số” (1572) của R. Bombelli (1530 – 1572). Nhà toán học Đức Felix

Klein (1849 – 1925) đã đánh giá công trình của G. Cardano như sau: “Tác phẩm

quý giá đến tột đỉnh này đã chứa đựng mầm mống của đại số hiện đại và nó vượt xa

tầm của toán học thời cổ đại”.

Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu

√−1 là lời giải hình thức của phương trình ��

2 + 1 = 0 .

Xét biểu thức ��√−1 là nghiệm hình thức của phương trình ��

2 + ��

2 = 0 Khi

đó biểu thức tổng quát hơn có dạng �� + ��√−1 , �� ≠ 0 có thể xem là nghiệm hình

thức của phương trình (�� − ��)

2 + ��

2 = 0

Về sau biểu thức dạng �� + ��√−1 , �� ≠ 0 xuất hiện trong quá trình giải

phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” và sau

đó được Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là �� + ����, trong đó kí hiệu

�� ≔ √−1 được L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”.

Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học đã diễn ra rất

chậm chạp. Ngay tên gọi và kí hiệu �� ≔ √−1 là đơn vị ảo cũng đã gây nên nhiều

nỗi băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn đến khủng hoảng niềm tin vì nó không có gì

Luận văn tốt nghiệp Số phức và ứng dụng trong hình học phẳng

SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 6

chung với số - một công cụ của phép đếm, mặc dù người ta vẫn xem nó là một kí

hiệu trừu tượng thỏa mãn định nghĩa

2

i 1.

Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách

thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông thường cho các

số phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu. Chẳng hạn như nghịch lí sau đây:

vì �� ≔ √−1 nên �� ≔ √−1, nhưng đồng thời bằng cách sử dụng các quy tắc thông

thường của phép toán khai căn bậc hai lại thu được

��

2 = √−1√−1 = √(−1)(−1) = √(−1)

2 = √1 = 1

Như vậy

 1 1.

Ta nhấn mạnh lại rằng hệ thức

2

i 1

là định nghĩa số mới

i

cho phép ta

đưa vào xét số phức. Điều đó có nghĩa rằng hệ thức đó không thể chứng minh, nó

chỉ là quy ước.

Tuy vậy, cũng có người muốn chứng minh hệ thức đó.Trong cuốn sách

“phương pháp tọa độ” của mình, viện sĩ L.S. Pointriagin đã mô tả lại chứng minh

đó như sau:

Đầu tiên người ta lấy nửa đường tròn với đường kính AB. Từ điểm R tùy ý của

nửa đường tròn hạ đường vuông góc RS là trung bình nhân giữa các độ dài của các

đoạn AS và SB. Vì nói đến độ dài nên sẽ không sai sót lớn khi nói rằng bình phương

đoạn RS bằng tích các đoạn thẳng AS và BS. Bây giờ, trở về với mặt phẳng phức, kí

hiệu điểm -1 là A, điểm +1 là B và điểm

i

là R. Khi đó S sẽ là điểm 0. Tác giả của

phép chứng minh đã lập luận như sau:

Đoạn thẳng RS là

i

, đoạn thẳng AS là -1 và SB là +1. Như vậy theo định lí vừa

nhắc lại ở trên ta có

��

2 = (−1)(+1) = −1

Thật đáng tiếc là phép chứng minh kì lạ này vẫn được viết trong sách và giảng

dạy ở một số trường phổ thông trước thế chiến thứ II .

Lịch sử toán học cũng ghi lại rằng Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm phức

nhưng lại gọi chúng là các nghiệm “ngụy biện”.Chẳng hạn khi giải hệ phương trình

Luận văn tốt nghiệp Số phức và ứng dụng trong hình học phẳng

SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 7

{

�� + �� = 10

���� = 40

Cardano đã tìm được nghiệm

5 5  

và ông đã gọi nghiệm này là “ âm thuần

túy” và thậm chí còn gọi là “nghiệm âm ngụy biện”.

Có lẽ tên gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “ một thời ngây thơ đáng trân trọng

của số học”.

Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỉ XVIII bản chất đại số và bản

chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng mà còn

đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I. Newton đã không thừa nhận cá đại

lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn G.

Leibniz thì thốt lên rằng: “Các đại lượng ảo – đó là nơi ẩn náu đẹp đẽ huyền diệu

đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường như một giống lưỡng cư sống ở một

chốn nào đó giữa cái có thật và cái không có thật”.

Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính

là nhà toán học Italy R. Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định nghĩa

các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết

các số “ảo”.

Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K. Gauss (năm 1831). Vào thế kỉ

XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại

lượng ảo (số phức) và khảo sát các ứng dụng của chúng.Chẳng hạn L. Euler (1777 –

1855) nhà toán học Đức mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn

A. Moivre (1667 – 1754) nhà toán học Anh nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự

nhiên đối với số phức (1736).

Sự nghi ngờ đối với số ảo (số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người Nauy

là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng

trong công trình công bố năm 1799. Đôi khi phép biểu diễn minh họa số phức cũng

được gọi là “sơ đồ Argand” để ghi nhận công lao của nhà toán học Thụy Sỹ R.

Argand – người thu được kết quả như của Wessel một cách độc lập.