Phương pháp sai phân với phương trình elliptic có bước nhảy gián đoạn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

QUẢN THỊ TỐ QUYÊN

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN

VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

CÓ BƯỚC NHẢY GIÁN ĐOẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

QUẢN THỊ TỐ QUYÊN

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN

VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

CÓ BƯỚC NHẢY GIÁN ĐOẠN

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số : 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS.VŨ VINH QUANG

Thái Nguyên - Năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

i

Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Mở đầu 1

Nội dung 3

1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 3

1.1 Các khái niệm về phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . 3

1.1.1 Khái niệm về phương trình đạo hàm riêng . . . . . . 3

1.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai . . . . . . 4

1.2 Phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng . . . . . 7

1.2.1 Bài toán vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3 Đạo hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.4 Bài toán sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.5 Lưới sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.6 Bài toán biên elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.7 Giới thiệu về thư viện RC2009 . . . . . . . . . . . . 11

2 PHƯƠNG PHÁP CIM (Coupling Interface Method) 17

2.1 Giới thiệu về bài toán biên với mặt phân cách gián đoạn. . . 17

2.2 Phương pháp CIM trong không gian một chiều . . . . . . . 18

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

i

2.2.1 Phương pháp CIM1 trong không gian một chiều. . . 19

2.2.2 Phương pháp CIM2 trong không gian một chiều. . . 22

2.3 Phương pháp CIM không gian hai chiều. . . . . . . . . . . . 27

2.3.1 Phương pháp CIM1 trong không gian 2 chiều . . . . 28

2.3.2 Phương pháp CIM2 trong không gian 2 chiều . . . . 30

2.4 Phương pháp CIM trong không gian d chiều . . . . . . . . . 34

2.4.1 Phương pháp CIM1 trong không gian d chiều. . . . 34

2.4.2 Phương pháp CIM2 trong không gian d chiều . . . . 36

2.5 Một số số liệu thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 MÔ HÌNH TÍNH TOÁN SONG SONG ĐỐI VỚI BÀI

TOÁN BIÊN GIÁN ĐOẠN QUA MẶT PHÂN CÁCH 43

3.1 Phương pháp chia miền đối với bài toán gián đoạn qua mặt

phân cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Mô hình tính toán song song . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Các kết quả thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Kết luận 57

Tài liệu tham khảo 60

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

Mở đầu

Những năm gần đây đã có không ít công trình nghiên cứu về lĩnh

vực tìm nghiệm đúng của lớp các bài toán biên mà chủ yếu là phương

trình elliptic cấp hai, mục đích chính của các phương pháp là đưa bài

toán vi phân về bài toán rời rạc trên một điểm lưới. Nếu miền hình học là

miền phức tạp, các hệ số của phương trình là gián đoạn thì việc áp dụng

phương pháp số cho cả miền là trở nên khó khăn.

Chính vì vậy, các công trình nghiên cứu đã tập trung đưa ra các hướng

nghiên cứu chủ yếu là đưa ra các phương pháp sai phân, đặc biệt là xung

quanh lân cận kỳ dị hoặc các biên phân chia để đưa bài toán đang xét về

hệ phương trình sai phân và việc tìm nghiệm bằng số của bài toán chuyển

về việc giải hệ phương trình đại số bằng các phương pháp đúng hoặc gần

đúng. Hướng thứ hai là sử dụng phương pháp chia miền chuyển bài toán

trên miền đang xét về hai bài toán không chứa các điểm kỳ dị, sau đó

xuất phát từ lời giải các bài toán trên hai miền ta thu được nghiệm của

bài toán gốc.

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Các khái niệm cơ bản

Trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, cơ sở

phương pháp lưới và giới thiệu thư viện chương trình giải phương trình

elliptic với hệ số hằng số trong miền chữ nhật.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

Chương 2: Phương pháp CIM (Coupling Interface Method)

Trình bày cơ sở phương pháp CIM bao gồm: phương pháp CIM1, CIM2

trong không gian một chiều,hai chiều và d chiều, các thuật toán cơ bản

về các phương pháp tương ứng, các kết quả thực nghiệm đối với các bài

toán cụ thể.

Chương 3: Mô hình tính toán song song đối với bài toán

biên gián đoạn qua mặt phân cách

Trình bày cơ sở phương pháp chia miền đối với bài toán biên gián đoạn

qua mặt phân cách, mô hình tính toán song song trong trường hợp tồn

tại nhiều biên phân chia trong miền, xây dựng các sơ đồ lặp giải bài toán

biên elliptic tồn tại mặt gián đoạn theo hướng hiệu chỉnh giá trị hàm trên

biên, xây dựng các chương trình thực nghiệm.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo hướng dẫn

TS. Vũ Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình

làm luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo Viện

Toán,Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã tham gia

giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2011.

Tác giả

Quản Thị Tố Quyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn