Phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình vi phân tuyến tính

Môc lôc

Lêi nãi ®Çu ……………………………………………………………….. 3

Ch¬ng 1. Kh¸i niÖm më ®Çu vÒ ph¬ng ph¸p sai ph©n …………….. 5

1.1. Më ®Çu 5 …………………………………………………………………

1.2. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n biªn .. .. 5 …………………… ……………………

1.3. Bµi to¸n vi ph©n . 5 ………………………………………………………

1.4. Líi sai ph©n . 6 …………………………………………………………

1.5. Hµm líi . 6 …………………………………………………… …………

1.6. §¹o hµm líi .. 6 …………………………………………………………

1.7. Qui íc viÕt v« cïng bÐ .. 7 ………………………………………………

1.8. C«ng thøc Taylor 7 ………………………………………………………

1.9. Liªn hÖ gi÷a ®¹o hµm vµ ®¹o hµm líi ... 8 …………………………

1.10. Ph¬ng ph¸p sai ph©n ... 9 ………………………………………………

1.11. Gi¶i bµi to¸n sai ph©n b»ng ph¬ng ph¸p truy ®uæi . 9 …

1.11.1. Ph¬ng ph¸p truy ®uæi tõ ph¶i ...10 ……………………

1.11.2. Ph¬ng ph¸p truy ®uæi tõ tr¸i 11 ………………………

1.12. Sù æn ®Þnh cña bµi to¸n sai ph©n 12 …………………………………

1.13. Sù xÊp xØ . 12 ……………………………………………………………

1.14. Sù héi tô .. 13 ……………………………………………………………

1.15. Trêng hîp ®iÒu kiÖn biªn lo¹i ba 14 ………………………………

Ch¬ng 2. Ph¬ng ph¸p sai ph©n gi¶i gÇn ®óng ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp bèn …… 18

2.1. Bµi to¸n vi ph©n 18 ………………………………………………………

2.2. Líi sai ph©n 19 …………………………………………………………

2.3. Hµm líi .. 19 ……………………………………………………………

2.4. §¹o hµm líi 19 …………………………………………………………

1

2.5. Ph¬ng ph¸p sai ph©n ... 20 ………………………………………………

2.6. C¸ch gi¶i bµi to¸n sai ph©n ... 27 …………………………………………

2.6.1. Ph¬ng ph¸p lÆp Seidel co d·n 27 ………………………………

2.6.2. Ph¬ng ph¸p truy ®uæi 28 ………………………………………

2.6.2.1. Ph¬ng ph¸p truy ®uæi tõ ph¶i ... 28 ……………………

2.6.2.2. Ph¬ng ph¸p truy ®uæi tõ tr¸i . 31 ………………………

2.6.2.3. Sù æn ®Þnh .. 34 …………………………………………

2.7. Sù xÊp xØ ... 37 ……………………………………………………………

2.8. Sù æn ®Þnh cña bµi to¸n sai ph©n .. 37 ……………………………………

2.9. Bµi to¸n sai ph©n ®èi víi sai sè 49 ………………………………………

2.10. Sù héi tô vµ sai sè ………………………………………………….. 50

Phô lôc ……………………………………………………………….. … 58

Tµi liÖu tham kh¶o ……………………………………………………… 84

2

Lêi nãi ®Çu

Trong lÜnh vùc to¸n øng dông thêng gÆp rÊt nhiÒu bµi to¸n cã liªn quan

tíi ph¬ng tr×nh vi ph©n thêng. ViÖc nghiªn cøu ph¬ng tr×nh vi ph©n thêng v×

vËy ®ãng mét vai trß quan träng trong lý thuyÕt to¸n häc. NhiÒu hiÖn tîng

khoa häc vµ kü thuËt dÉn ®Õn c¸c bµi to¸n biªn cña ph¬ng tr×nh vËt lý to¸n.

Gi¶i c¸c bµi to¸n ®ã ®Õn ®¸p sè b»ng sè lµ mét yªu cÇu quan träng cña thùc

tiÔn. Trong mét sè Ýt trêng hîp, thËt ®¬n gi¶n viÖc ®ã cã thÓ lµm ®îc nhê vµo

nghiÖm têng minh cña bµi to¸n díi d¹ng c¸c c«ng thøc s¬ cÊp, c¸c tÝch ph©n

hoÆc c¸c chuçi hµm. Cßn trong ®¹i ®a sè trêng hîp kh¸c, ®Æc biÖt lµ ®èi víi

c¸c bµi to¸n cã hÖ sè biÕn thiªn, c¸c bµi to¸n phi tuyÕn, c¸c bµi to¸n trªn miÒn

bÊt kú th× nghiÖm têng minh cña bµi to¸n kh«ng cã hoÆc cã nhng rÊt phøc t¹p.

ChÝnh v× vËy chóng ta ph¶i nhê tíi c¸c ph¬ng ph¸p xÊp xØ ®Ó t×m nghiÖm gÇn

®óng.

Do nhu cÇu cña thùc tiÔn vµ cña sù ph¸t triÓn lý thuyÕt to¸n häc, c¸c nhµ

to¸n häc ®· t×m ra rÊt nhiÒu ph¬ng ph¸p ®Ó gi¶i gÇn ®óng c¸c ph¬ng tr×nh vi

ph©n thêng (c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i tÝch nh ph¬ng ph¸p chuçi Taylo, ph¬ng ph¸p

xÊp xØ liªn tiÕp Pica, c¸c ph¬ng ph¸p sè nh ph¬ng ph¸p mét bíc, ph¬ng ph¸p

A®am, ph¬ng ph¸p Runghe-Kuta,…).

§Ò tµi: "Ph¬ng ph¸p sai ph©n gi¶i gÇn ®óng ph¬ng tr×nh vi ph©n

tuyÕn tÝnh"

Trong ph¹m vi ®å ¸n cña m×nh, em xin tr×nh bµy mét ph¬ng ph¸p gÇn

®óng ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp bèn tæng qu¸t lµ ph¬ng ph¸p sai ph©n.

§©y lµ mét trong hai líp ph¬ng ph¸p gÇn ®óng quan träng ®îc nghiªn cøu

nhiÒu lµ ph¬ng ph¸p sai ph©n vµ ph¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n. C¶ hai ph¬ng

ph¸p ®Òu t×m c¸ch ®a bµi to¸n ®· cho vÒ mét bµi to¸n ®¹i sè, thêng lµ mét hay

3

nhiÒu hÖ ®¹i sè tuyÕn tÝnh. Trong ph¬ng ph¸p nµy miÒn trong ®ã ta t×m nghiÖm

cña ph¬ng tr×nh thêng ®îc phñ b»ng mét líi gåm mét sè h÷u h¹n ®iÓm (nót),

cßn c¸c ®¹o hµm trong ph¬ng tr×nh ®îc thay b»ng c¸c sai ph©n t¬ng øng cña

c¸c gi¸ trÞ cña hµm t¹i c¸c nót líi.

Em xin c¸m ¬n thÇy Lª Träng Vinh ®· tËn t×nh híng dÉn em trong thêi

gian lµm ®å ¸n võa qua.

Hµ néi 12 − 2003

Sinh viªn thùc hiÖn

NguyÔn §øc Dòng

4

Ch¬ng 1

Kh¸i niÖm më ®Çu

vÒ ph¬ng ph¸p sai ph©n

1.1 Më ®Çu

Trong ch¬ng nµy ®Ó tr×nh bµy nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n cña ph¬ng ph¸p sai ph©n ta

sÏ xÐt bµi to¸n biªn ®èi víi ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai.

1.2 Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n biªn

Bµi to¸n biªn cã ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp lín h¬n hoÆc b»ng hai vµ ®iÒu kiÖn bæ

sung ®îc cho t¹i nhiÒu h¬n mét ®iÓm.

Ch¼ng h¹n bµi to¸n biªn ®èi víi ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai cã d¹ng:

[ ]

=α = β

− = − < <

′

′

( ) ; ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y a y b

p x y x q x y x f x a x b

Bµi to¸n trªn ®îc gäi lµ bµi to¸n biªn lo¹i mét.

NÕu ®iÒu kiÖn biªn y(a) =α; y(b) = β ®îc thay thÕ bëi ®iÒu kiÖn biªn:

− p(a) y′(a) +σ 1

y(a) = α; p(b) y′(b) +σ 2

y(b) = β th× ta cã bµi to¸n biªn lo¹i ba

nÕu σ 1 ≥ 0;σ 2 ≥ 0;σ 1 +σ 2 > 0 . Cßn nÕu 0 σ 1 = σ 2 = th× ta cã bµi to¸n biªn lo¹i hai.

Trong thùc tÕ ta cßn gÆp nh÷ng bµi to¸n mµ t¹i x = a vµ x = b cã ®iÒu kiÖn biªn

kh¸c nhau (ch¼ng h¹n t¹i x = a ta cã ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 1 cßn t¹i x = b ta cã ®iÒu

kiÖn biªn lo¹i hai hoÆc ba) khi ®ã ta cã bµi to¸n biªn hçn hîp.

Sau ®©y ta sÏ xem xÐt c¸c kh¸i niÖm vÒ ph¬ng ph¸p sai ph©n th«ng qua bµi to¸n

biªn lo¹i mét.

1.3 Bµi to¸n vi ph©n

Cho hai sè a vµ b víi a < b . T×m hµm y = y(x) x¸c ®Þnh t¹i a < x < b tháa m·n:

( ) , ( ) (1.2)

( ) ( ) (1.1)

= α = β

= − ′ ′ + =

y a y b

Ly py qy f x

trong ®ã p = p(x), q =q(x), f (x) lµ nh÷ng hµm sè cho tríc ®ñ tr¬n tháa m·n:

0 < c0 ≤ p(x) ≤ c1

, c0

,c1 = const , q(x) ≥ 0

5

cßn α, β lµ nh÷ng sè cho tríc.

Gi¶ sö bµi to¸n (1.1) −(1.2) cã nghiÖm duy nhÊt y ®ñ tr¬n trªn [a,b].

1.4 Líi sai ph©n

Ta chia ®o¹n [a,b] thµnh N ®o¹n con b»ng nhau, mçi ®o¹n con dµi h = (b − a) N

bëi c¸c ®iÓm xi = a + ih, i = 0,1,..., N . Mçi ®iÓm i

x gäi lµ mét nót líi, h gäi lµ bíc

líi.

• TËp Ω = { x ,1≤ i ≤ N −1} h i gäi lµ tËp c¸c nót trong.

• TËp { } h N

x , x Γ = 0 gäi lµ tËp c¸c nót biªn.

• TËp Ωh = Ωh ∪Γh gäi lµ mét líi trªn [a,b].

0 a = x 1

x i

x xN = b

1.5 Hµm líi

§ã lµ nh÷ng hµm sè x¸c ®Þnh t¹i c¸c nót cña líi Ωh

. Gi¸ trÞ cña hµm líi v t¹i nót

i

x viÕt lµ i

v .

Mét hµm sè y(x) x¸c ®Þnh t¹i mäi x∈[a,b] sÏ t¹o ra hµm líi y cã gi¸ trÞ t¹i nót i

x

lµ ( )

i i

y = y x .

1.6 §¹o hµm líi

XÐt hµm líi v . §¹o hµm líi tiÕn cÊp mét cña v . Ký hiÖu lµ vx , cã gi¸ trÞ t¹i nót

i

x lµ:

h

v v

v

i i

xi

−

=

+1

§¹o hµm líi lïi cÊp mét cña v , ký hiÖu lµ vx , cã gi¸ trÞ t¹i nót i

x lµ:

h

v v

v

i i

xi

− −1 =

Sau ®©y ta sÏ thÊy r»ng khi h bÐ th× ®¹o hµm líi “xÊp xØ” ®îc ®¹o hµm thêng (xem

c¸c c«ng thøc (1.5),(1.6),(1.7)).

6

Do ®ã cã ®¹o hµm líi cÊp hai xx

v :

2

1 1 1 1 1 2 1

h

v v v

h

v v

h

v v

h h

v v

v

xi xi i i i i i i i

xxi

+ + − + − + −

 =









 −

−

−

=

−

=

NÕu a lµ mét hµm líi th×:

2

1 1 1 1 1 1

( )

( )

h

a v a a v a v

h

a v a v

av i xi i xi i i i i i i i

x xi

+ + + + − + + + − =

−

=

1.7 Qui íc viÕt v« cïng bÐ

Kh¸i niÖm “xÊp xØ” liªn quan ®Õn kh¸i niÖm v« cïng bÐ. §Ó viÕt c¸c v« cïng bÐ

mét c¸ch ®¬n gi¶n ta sÏ ¸p dông qui íc sau ®©y:

Gi¶ sö ®¹i lîng ρ(h) lµ mét v« cïng bÐ khi h → 0 . NÕu tån t¹i sè α > 0 vµ h»ng sè

M > 0 kh«ng phô thuéc h sao cho:

α

ρ(h) ≤ Mh

th× ta viÕt:

( ) ( )

α

ρ h = Ο h

ViÕt nh trªn cã nghÜa lµ: khi h nhá th× ρ(h) lµ mét ®¹i lîng nhá vµ khi h → 0 th×

ρ(h) tiÕn ®Õn sè 0 kh«ng chËm h¬n α Mh .

1.8 C«ng thøc Taylor

Ta nh¾c l¹i c«ng thøc Taylor ë ®©y v× nã lµ c«ng thøc quan träng ®îc sö dông ®Ó

xÊp xØ bµi to¸n vi ph©n bëi bµi to¸n sai ph©n.

Gi¶ sö F(x) lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh vµ cã ®¹o hµm ®Õn cÊp m +1 trong mét

kho¶ng (α, β ) chøa x vµ x +∆x , ∆x cã thÓ d¬ng hay ©m. Khi ®ã theo c«ng thøc

Taylor ta cã:

( ) (1.3)

( 1)!

( )

( )

!

( )

( ) ...

2!

( )

( ) ( ) ( )

( 1)

1

( )

2

F c

m

x

F x

m

x

F x

x

F x x F x xF x

m

m

m

m

+

+

+

∆

+

∆

′′ + +

∆

+∆ = +∆ ′ +

trong ®ã c lµ mét ®iÓm ë trong kho¶ng tõ x ®Õn x + ∆x .

Cã thÓ viÕt: c = x +θ∆x víi 0 <θ < 1 .

Ta gi¶ thiÕt thªm:

( ) ≤ = , ∈[α, β ]

+

x M const x

(m 1) F

7

Khi ®ã ( )

( 1)!

( ) ( 1)

( 1)

F c

m

x m

m

+

+

+

∆

lµ mét v« cïng bÐ khi ∆x → 0 . Tøc lµ tån t¹i h»ng sè

K > 0 kh«ng phô thuéc vµo ∆x sao cho:

( 1) ( 1)

( 1)

( ) ( )

( 1)!

( ) + +

+

≤ ∆

+

∆ m m

m

F c K x

m

x

C«ng thøc Taylor ë trªn cã thÓ viÕt gän h¬n nh sau:

( ) (( ) ) (1.4)

!

( )

( ) ...

2!

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( 1)

2

+

+ Ο ∆

∆

′′ + +

∆

+ ∆ = + ∆ ′ +

m m

m

F x x

m

x

F x

x

F x x F x xF x

1.9 Liªn hÖ gi÷a ®¹o hµm vµ ®¹o hµm líi

Gi¶ sö hµm y(x) ®ñ tr¬n. Theo c«ng thøc Taylor (1.4) ta cã:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

y xi+1 = y xi + h = y xi + hy′ xi + Ο h

Ta suy ra

( ) ( ) (1.5)

( ) ( )

1 y x h

h

y x y x

y i

i i

xi = ′ + Ο

−

=

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

y xi−1 = y xi − h = y xi − hy′ xi + Ο h

( ) ( ) (1.6)

( ) ( )

1 y x h

h

y x y x

y i

i i

xi

= ′ + Ο

−

=

−

Ngoµi ra víi qui íc:

, ( )

2

2

1

2

1

2

i+ 1 = i + i+ = i+

y y x

h

x x

Ta cßn cã

( ) ( )

2! 2

1

( )

2

) ( )

2

( ) (

( ) ( )

2! 2

1

( )

2

) ( )

2

( ) (

3

2

3

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

y x h

h

y x

h

y x

h

y x y x

y x h

h

y x

h

y x

h

y x y x

i i i i i

i i i i i

 ′′ + Ο











= − = − ′ +

 ′′ + Ο











= + = + ′ +

+ + + +

+ + + + +

Ta suy ra

( ) ( ) ( ) ( )

3

1 2

y x y x hy x 1 h i+ − i = ′

i+ + Ο

Do ®ã

8