Phương pháp sai phân đối với bài toán truyền nhiệt đối lưu không dừng có hệ số liên tục

®¹i häc th¸I nguyªn

Tr-êng ®¹i häc khoa häc

Tr-¬ng tiÕn hoµng

PH¦¬ng ph¸p sai ph©n ®èi víi

bµi to¸n truyÒn nhiÖt ®èi l-u

kh«ng dõng cã hÖ sè liªn tôc

luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

Th¸i nguyªn, n¨m 2013

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

®¹i häc th¸I nguyªn

Tr-êng ®¹i häc khoa häc

Tr-¬ng tiÕn hoµng

PH¦¬ng ph¸p sai ph©n ®èi víi

bµi to¸n truyÒn nhiÖt ®èi l-u

kh«ng dõng cã hÖ sè liªn tôc

Chuyªn ngµnh: To¸n øng dông

M· sè : 60 46 01 12

luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc:

Ts. NguyÔn ®×nh b×nh

Th¸i nguyªn, n¨m 2013

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Mục lục

Lời mở đầu iii

1 Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt

một chiều 1

1.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Lưới sai phân và hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Lưới sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Xấp xỉ các đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Phương pháp ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Xây dựng phương pháp . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.2 Bài toán sai phân đối với sai số . . . . . . . . 6

1.4.3 Sự xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.4 Sự ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.5 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Phương pháp sai phân hiện . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1 Xây dựng phương pháp . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.2 Bài toán sai phân đối với sai số . . . . . . . . 9

1.5.3 Sự xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.4 Sự ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.5 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Phương pháp sai phân với bài toán Truyền nhiệt đối

lưu không dừng có hệ số liên tục 13

i

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

2.1 Bài toán đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Lưới sai phân, hàm lưới và đạo hàm lưới . . . . . . . 15

2.2.1 Lưới sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2 Hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.3 Đạo hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Bài toán sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Ký hiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.2 Xấp xỉ các đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . 18

2.3.3 Phát biểu bài toán sai phân . . . . . . . . . . 25

2.4 Phương pháp giải bài toán sai phân . . . . . . . . . . 26

2.4.1 Quy bài toán sai phân về dạng hệ phương

trình ba đường chéo . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.2 Phương pháp truy đuổi . . . . . . . . . . . . . 30

3 Sự ổn định, hội tụ và sai số 32

3.1 Sự ổn định của phương pháp sai phân . . . . . . . . . 32

3.1.1 Khái niệm về sự ổn định, bất đẳng thức ổn định 36

3.1.2 Xét bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.3 Ý nghĩa của bất đẳng thức ổn định . . . . . . 42

3.2 Sự hội tụ và sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

ii

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Lời mở đầu

Bài toán truyền nhiệt là một trong ba bài toán vật lý toán cơ

bản mà chúng ta hay gặp trong thực tế. Việc giải các bài toán đó

để có được đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn.

Trong một số ít trường hợp, chúng ta có thể tìm được nghiệm tường

minh. Tuy nhiên trong đa số trường hợp, đặc biệt đối với các bài

toán có hệ số hàm thì nghiệm tường minh của bài toán là khó có

thể xác định được, hoặc nghiệm tường minh ở dạng rất phức tạp.

Vì vậy trong trường hợp này chúng ta thường dựa vào các phương

pháp giải gần đúng để tìm nghiệm.

Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi

trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Nội dung của nó là đưa

bài toán cần xét về việc giải phương trình sai phân hoặc hệ phương

trình sai phân sao cho việc tính toán thuận tiện, đồng thời vẫn đảm

bảo được tính ổn định của lược đồ, cũng như đánh giá được tốc độ

hội tụ của nghiệm gần đúng tìm được tới nghiệm đúng của bài toán.

Trong phạm vi của bản luận văn này, tác giả tìm hiểu về phương

pháp sai phân với bài toán Truyền nhiệt đối lưu không dừng có hệ

số liên tục, mà cụ thể được trình bày theo bố cục sau

Chương 1: Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt

một chiều.

Chương 2: Phương pháp sai phân với bài toán Truyền nhiệt đối lưu

không dừng có hệ số liên tục.

Chương 3: Sự ổn định, hội tụ và sai số.

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa

iii

Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/