Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Phương pháp sai phân và ứng dụng đối với bài toán biên tự do
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008
75
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN TỰ DO
Nguyễn Đình Dũng- Trần Mạnh Tuấn (Khoa Công nghệ Thông tin - ĐH Thái Nguyên)
Phạm Minh ChuNn (Khoa Công nghệ thông tin – Đại học SPKT Hưng Yên)
1. Bài toán biên tự do một chiều
1.1. Giới thiệu bài toán
Xét bài toán biên tự do (FBP1)
Tìm hàm u(x,t) thoả mãn
=
= − < ≤
= < ≤ = >
= ≤ ≤
= ≤ ≤
= < < < ≤
)0( )6.1(
( ( ), ) 0 )5.1(
( )0, ( ) 0 , ( ) ,0 0 )4.1(
( ( ), ) 0 0 )3.1(
,0( ) ( ) 0 )2.1(
0 ( ); 0 )1.1(
s b
u s t t t T
dt
ds
u x x x b b b
u s t t t T
u t f t t T
u u x s t t T
x
t xx
ϕ ϕ
Để bài toán có thể giải (1.1)-(1.4) cần bổ xung thêm điều kiện cho trên biên tự do, diều
kiện này còn được gọi là điều kiện Stefan (1.5)-(1.6). Áp dụng kết quả của Cannon-Hill [6] điều
kiện cho trên biên tự do có thể biến đổi về dạng sau:
∫ ∫
∫
= + +
= − ≤ ≤
t b
S t
F t b f d d
s t F t u t d t T
0 0
2
( )
0
2
( ) 2 ( ) 2 ( )
[ ( )] ( ) 2 ( , ) 0
τ τ ξ ϕ ξ ξ
ξ ξ ξ
1.2. Phương pháp Penalty
Việc giải bài toán FBP1 được thực hiện bằng phương pháp sai phân, để giảm khối lượng
tính toán, trước hết ta xấp xỉ bài toán FBP1 bởi bài toán FBP2:
Tìm hàm ) u(x,t thoả mãn
[ ] ( ) ( ) 2 ( , ) 0 12.1( )
11.1( )
1 ( ) 0
0 0 ( ) 0
( , )
10.1( )
0
( ) 0
( )0,
,( ) 0 0 )9.1(
,0( ) ( ) 0 )8.1(
( , ) 0 , 0 )7.1(
0
2
s t F t u t d t T
s t x l t T
x s t t T
x t
b x l
x x b
u x
u tl t T
u t f t t T
u u K x t u x l t T
l
t xx
= − ≤ ≤
< ≤ ≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤
=
< ≤
≤ ≤
=
= ≤ ≤
= ≤ ≤
= − < < < ≤
∫
ξ ξ ξ
λ
ϕ
λ
Trong đó K là hằng số dương, l được chọn sao cho l > F(t) .