Không gian với mạng ö- bảo tồn bao đóng di truyền

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN HỮU LỘC

KHÔNG GIAN VỚI MẠNG

s - BẢO TỒN BAO ĐÓNG DI TRUYỀN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN HỮU LỘC

KHÔNG GIAN VỚI MẠNG

s - BẢO TỒN BAO ĐÓNG DI TRUYỀN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60. 46. 40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

ĐÀ NẴNG - NĂM 2013

i

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3 Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4 Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

5 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

7 Tổng quan và cấu trúc luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN TÔPÔ 4

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA

KHÔNG GIAN TÔPÔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 CƠ SỞ VÀ CƠ SỞ LÂN CẬN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ . 7

1.3 CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 KHÔNG GIAN TÔPÔ KHẢ MÊTRIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 KHÔNG GIAN CON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 KHÔNG GIAN COMPẮC, KHÔNG GIAN LINDELOF¨

VÀ KHÔNG GIAN KHẢ LI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 TẬP HỢP RỜI RẠC TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ . . . . . . 13

1.8 MỘT VÀI KHÔNG GIAN MÊTRIC SUY RỘNG . . . . . . . . . . 14

CHƯƠNG 2 HỌ HCP, HCF VÀ HCF* 19

2.1 HỌ HCP, HCF, HCF* VÀ CÁC TÍNH CHẤT . . . . . . . . . . . . . . 19

ii

2.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC HỌ CP, CF, CF*,

HCP, HCF, HCF* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

CHƯƠNG 3 KHÔNG GIAN VỚI MẠNG σ-BẢO TỒN

BAO ĐÓNG DI TRUYỀN 35

3.1 HỌ wHCP VÀ CÁC TÍNH CHẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 KHÔNG GIAN VỚI MẠNG σ-wHCP VÀ σ-HCP . . . . . . . . . . 41

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

iii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết

quả nêu trong luận văn là trung thực và không trùng lặp với bất kì tài liệu nào

khác.

Tác giả

iv

DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC, THUẬT NGỮ VÀ

KÍ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN

Sau đây là các quy ước, thuật ngữ và kí hiệu được dùng trong Chương 2 và

Chương 3 của luận văn.

1. Không gian tôpô được viết gọn là không gian.

2. Tất cả các không gian, nếu không nói gì thêm chúng tôi giả thiết chúng là

không gian Hausdorff.

3. Kí hiệu N là tập tất cả các số tự nhiên.

4. ω = N ∪ {0}.

5. Giả sử P và Q là các họ gồm các tập con nào đó của không gian X. Kí hiệu,

(a) P ∧ Q = {P ∩ Q : P ∈ P, Q ∈ Q}.

(b) K ∧ P = {K ∩ P : P ∈ P}.

(c) S

P =

S

{P : P ∈ P}.

(d) T

P =

T

{P : P ∈ P}.

(e) |K| là lực lượng của K.

(f) P = {P : P ∈ P}.

6. Giả sử P là họ gồm các tập con nào đó của không gian X. Khi đó, P được gọi

là đếm được nếu nó có hữu hạn hoặc vô hạn đếm được phần tử.

7. Kí hiệu P(X) là họ gồm tất cả các tập con của X.

8. Các quy ước, thuật ngữ, kí hiệu và khái niệm không được trình bày trong luận

văn được hiểu theo [5, 13, 15]

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Bài toán metric hóa không gian mêtric suy rộng là một trong những bài

toán trọng tâm của tôpô đại cương. Trong [4], R. Engelking đã nhắc lại kết quả

của Nagata-Smirnow rằng, một không gian chính qui là khả mêtric nếu và chỉ

nếu nó có cơ sở σ-hữu hạn địa phương. Bằng cách làm yếu tính chất của họ

hữu hạn địa phương, D. Burke, R. Engelking và D. Lutzer đã đưa ra khái niệm

họ σ-bảo tồn bao đóng di truyền (viết tắt là σ-HCP) và chứng minh rằng một

không gian chính quy là khả mêtric nếu và chỉ nếu nó có cơ sở σ-HCP (xem [4]).

Hơn nữa, trong [16], Y. Tanaka đã chứng minh rằng, một không gian chính quy

là g-khả mêtric nếu và chỉ nếu nó là k-không gian có k-mạng σ-HCP. Từ những

thập niên 50 của thế kỉ trước đến nay, các nhà Toán học trên thế giới như K.

Tamano, L. Foged, Z. Yun, G. Guthrie, Y. Tanaka, T. Mizokami, Y. Ge, S. Lin,

... đã quan tâm và đưa ra rất nhiều kết quả liên quan đến họ σ-HCP và các suy

rộng của nó như họ wHCP, CF, CF*, HCF, HCF* ... (xem [9, 14]).

Với những lý do như trên cũng như dưới sự định hướng của thầy giáo Lương

Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết định chọn nghiên cứu đề tài: “Không gian với

mạng σ-bảo tồn bao đóng di truyền”. Chúng tôi hy vọng rằng, đây là một tài liệu

tham khảo tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về “Mạng σ-bảo tồn bao đóng

di truyền” và hy vọng tìm ra được một số ứng dụng của nó nhằm góp phần làm

phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này.

2. Mục đích nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi hiểu và nghiên cứu các vấn đề sau.

(1) Họ CP, HCP, CF, HCF, CF* và HCF*.

(2) Mối quan hệ giữa các họ CP, HCP, CF, HCF, CF* và HCF*.

(3) Không gian với các mạng σ-HCP và σ-wHCP.

2

3. Đối tượng nghiên cứu

Họ CP, HCP, CF, HCF, CF*, HCF* và các mạng σ-HCP, σ-wHCP.

4. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các tính chất và mối quan hệ giữa các họ CP, HCP, CF, HCF,

CF*, HCF* cũng như tính chất của các mạng σ-HCP, σ-wHCP trong không gian

mêtric suy rộng, thuộc lĩnh vực Tôpô đại cương.

5. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình thực

hiện đề tài và thực hiện theo quy trình như sau.

(1) Tham khảo tài liệu và hệ thống lại những kiến thức của tôpô đại cương.

(2) Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu liên quan đến

các họ CP, HCP, CF, HCF, CF*, HCF* và các mạng σ-HCP, σ-wHCP.

(3) Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.

(4) Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả

đang nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài liệu tham khảo

dành cho những ai đang quan tâm nghiên cứu về mêtric hóa của không gian

tôpô, mối quan hệ giữa các mạng suy rộng của cơ sở trong không gian mêtric

suy rộng.

7. Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương.