Không gian với ℵ°- cơ sở yếu.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ CÚC KIM

KHÔNG GIAN VỚI

0 - CƠ SỞ YẾU

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

[Đà Nẵng – Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lương Quốc Tuyển

Phản biện 1: TS. Phan Đức Tuấn

Phản biện 2: PGS.TS. Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ Khoa học, họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày

11 tháng 01 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Năm 1966 Arhangel’skii đã suy rộng khái niệm cơ sở, đưa ra

khái niệm cơ sở yếu và thu được nhiều kết quả thú vị. Bằng cách

thay cơ sở bởi cơ sở yếu, tác giả đã suy rộng khái niệm không

gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất thành không gian thỏa

mãn tiên đề đếm được thứ nhất yếu (viết tắt là gf-đếm được) và

cũng thu được nhiều kết quả liên quan đến lớp không gian này.

Sau đó, khái niệm không gian gf-đếm được đã được R. Sirois￾Dumais suy rộng thành không gian tựa gf-đếm được. Bằng cách

sử dụng các tính chất của không gian tựa gf-đếm được, S. Lin

và C. Liu đã giới thiệu khái niệm ℵ0-cơ sở yếu vào năm 2007.

Từ đó, các tác giả đã đưa ra hướng nghiên cứu mới trong Lý

thuyết không gian metric suy rộng và trong Nhóm topo. Ngoài

ra các tác giả R. Shen, S. Lin, C. Liu và J. Li đã chứng minh

rằng không gian chính quy X có ℵ0-cơ sở yếu σ-rời rạc khi và chỉ

khi nó có ℵ0-cơ sở yếu σ-hữu hạn địa phương, khi và chỉ khi nó

có ℵ0-cơ sở yếu σ-bảo tồn bao đóng di truyền. Gần đây, R. Shen

và S. Lin đã chứng minh được rằng k-không gian với ℵ0-cơ sở yếu

σ-điểm-rời rạc khi và chỉ khi nó là không gian có ℵ0-cơ sở yếu

σ-compact-hữu hạn. Hơn nữa các tác giả đặt ra bài toán mở sau:

2

1.1 Bài toán. Nếu X là không gian có ℵ0-cơ sở yếu σ-compact￾hữu hạn, thì nó có ℵ0-cơ sở yếu σ-hữu hạn địa phương hay không?

1.2 Bài toán. Nếu X là không gian gf-đếm được có ℵ0-cơ sở yếu

σ-hữu hạn, thì nó có cơ sở yếu σ-hữu hạn địa phương hay không?

1.3 Bài toán. Nếu X là không gian gf-đếm được có cs∗

-mạng

σ-rời rạc, thì nó có ℵ0-cơ sở yếu σ-compact-hữu hạn hay không?

Với lý do trên cũng như sự định hướng của thầy giáo Lương

Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết định chọn nghiên cứu đề tài:

“Không gian với ℵ0-cơ sở yếu”. Chúng tôi hy vọng tạo được một

tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về “ℵ0-

cơ sở yếu” và mong tìm ra được một số ứng dụng của nó nhằm

góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm tìm hiểu và làm rõ các vấn đề sau.

(1) Lý thuyết metric suy rộng.

(2) Không gian với ℵ0-cơ sở yếu.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

(1) Đối tượng nghiên cứu: ℵ0-cơ sở yếu, không gian ℵ0-cơ

sở yếu.

3

(2) Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu ℵ0-cơ sở yếu và không

gian ℵ0-cơ sở yếu và mối liên hệ giữa ℵ0-cơ sở yếu với

các mạng.

4 Phương pháp nghiên cứu

(1) Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.

(2) Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu

liên quan đến “Không gian với ℵ0-cơ sở yếu”.

(3) Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.

(4) Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng

dẫn các kết quả đang nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn.

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài

liệu tham khảo dành cho những ai đang quan tâm nghiên cứu về

“Không gian với ℵ0-cơ sở yếu”.

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và

2 chương.

Chương 1. Cơ sở lý thuyết. Trong chương này, chúng tôi

trình bày một số khái niệm, tính chất của không gian metric và

4

không gian topo nhằm để phục vụ cho việc chứng minh Chương

2 của Luận văn.

Chương 2. Không gian với ℵ0-cơ sở yếu. Trong chương

này, chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất và chứng minh

chi tiết một số kết quả về các không gian, các mạng, cs-mạng,

cs∗

-mạng (xem Bổ đề 2.2.2, 2.2.3). Đồng thời, chứng minh chi

tiết một số định lí nhằm làm sáng tỏ mối quan hệ giữa ℵ0-cơ sở

yếu với k-mạng và cs∗

-mạng.

Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn không thể tránh những

hạn chế và thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp

ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh

hơn. Tôi xin trân trọng cảm ơn!

5

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 KHÔNG GIAN METRIC

1.1.1 Định nghĩa. Không gian metric là một cặp (X, ρ), trong

đó X là một tập hợp khác rỗng và ρ : X × X −→ R là hàm số

xác định trên X × X thỏa mãn các điều kiện sau.

(a) ρ(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X.

ρ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.

(b) ρ(x, y) = ρ(y, x) với mọi x, y ∈ X.

(c) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) với mọi x, y, z ∈ X.

Khi đó,

(1) ρ được gọi là metric trên X.

(2) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của X.

(3) ρ(x, y) được gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y.

1.1.2 Định nghĩa. Cho (X, ρ) là một không gian metric, {xn} ⊂ X.

Ta nói rằng dãy {xn} hội tụ đến x0 trong X nếu

limn→∞

ρ(xn, x0) = 0.

Khi đó, ta viết limn→∞

xn = x0 hoặc xn → x0 và x0 được gọi là điểm

giới hạn của dãy {xn}.