Không gian với cs∗-mạng chính quy theo điểm và bài toán của shou lin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

——————————–

HUỲNH QUANG TÂM

KHÔNG GIAN VỚI cs∗

-MẠNG CHÍNH QUY

THEO ĐIỂM VÀ BÀI TOÁN CỦA SHOU LIN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số:8460102

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2018

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Phản biện 1:

TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Phản biện 2:

PGS.TS. NGUYỄN NHỤY

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày

17 tháng 06 năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Khái niệm cơ sở chính quy theo điểm đã được P. S. Alexandroff đưa

ra vào năm 1960 (xem trong [1]). Năm 1962, A. V. Arhangel’skii đã chứng

minh rằng một không gian X là ảnh compact mở của một không gian metric

khi và chỉ khi X có cơ sở chính quy theo điểm (xem trong [2]). Sau đó, S.

Lin đã đưa ra khái niệm ánh xạ 1-phủ-dãy vào năm 1996 (xem trong [6]), và

tác giả cùng với P. Yan đã chứng minh được rằng một không gian X là ảnh

compact 1-phủ-dãy của một không gian metric khi và chỉ khi X có cs-mạng

chính quy theo điểm, khi và chỉ khi X có sn-mạng chính quy theo điểm

(xem trong [9]). Đến năm 2002, Y. Ikeda, C. Liu và Y. Tanaka đã chứng

minh được một kết quả rằng nếu X là một không gian dãy với cs∗

-mạng

chính quy theo điểm, thì X là π, s-ảnh thương của một không gian metric

(xem trong [4]), và các tác giả đã đặt ra bài toán mở sau.

Bài toán 1 ([4], Question 18). Giả sử X là không gian dãy với

cs∗

- mạng chính quy theo điểm. Hãy đặc trưng X bởi ảnh đẹp của một

không gian metric?

Ngoài ra, trong [4], các tác giả đã đưa ra khái niệm mạng σ-mạnh để

nghiên cứu tính chất ảnh của một không gian metric, và đã chứng minh

được rằng một không gian X là ảnh compact phủ-dãy của một không gian

metric khi và chỉ khi X có mạng σ-mạnh gồm các cs∗

-phủ hữu hạn theo

điểm. Bởi vì mọi ảnh compact phủ-dãy của một không gian metric là không

gian có cs∗

-mạng chính quy theo điểm nên S. Lin đã cho rằng chiều ngược

lại của mệnh đề này vẫn đúng và đã đặt ra bài toán mở sau.

2

Bài toán 2 ([5], Question 3.3.20(2); [8], Question 4). Nếu X là không

gian với cs∗

-mạng chính quy theo điểm, thì X có mạng σ-mạnh gồm

các cs∗

-phủ hữu hạn theo điểm hay không?

Hai bài toán này đã được Trần Văn Ân và Lương Quốc Tuyển cho câu trả

lời khẳng định vào năm 2011 trong [3].

Với mong muốn tìm hiểu về các tính chất của mạng σ -mạnh và lời giải

chi tiết cho Bài toán 1 và Bài toán 2 cùng với sự định hướng của thầy giáo

Lương Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài: “Không gian với

cs∗

-mạng chính quy theo điểm và bài toán của Shou Lin” làm đề tài luận

văn thạc sỹ.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm tìm hiểu và làm rõ các vấn đề sau:

• Định nghĩa và các tính chất của mạng, cs∗

-mạng, cs-mạng và các

mạng σ-mạnh.

• Các phủ chính quy theo điểm và các tính chất của cs∗

-mạng chính

quy theo đểm trên không gian topo.

• Mối quan hệ giữa các mạng σ-mạnh, các mạng chính quy theo điểm.

• Lời giải chi tiết cho Bài toán 2.

3. Đối tượng nghiên cứu

Không gian với cs∗

-mạng chính quy theo điểm và các tính chất của

cs∗

-mạng chính quy theo đểm trên không gian topo, mối quan hệ giữa các

mạng σ-mạnh, các mạng chính quy theo điểm.

4. Phạm vi nghiên cứu

3

Nghiên cứu về mối liên hệ giữa các mạng, cs∗

-mạng, cs-mạng và các

mạng σ-mạnh, cũng như tìm hiểu phép chứng minh chi tiết Bài toán 2.

5. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình

thực hiện đề tài. Bằng cách thu thập những bài báo liên quan với đề tài của

các tác giả đi trước nhằm tìm được phép chứng minh chi tiết cho Bài toán

2.

6. Tổng quan và cấu trúc luận văn

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày trong 2 chương. Ngoài ra,

luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở đầu, phần Kết

luận và Kiến nghị, Tài liệu tham khảo.

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Trình bày về những kiến thức cơ bản cần thiết cho các phần sau như:

không gian topo, tập mở, tập đóng,...

Chương 2: Không gian với cs∗

-mạng chính quy theo điểm

và bài toán của Shou Lin

Chương này trình bày kiến thức về mạng, cs∗

-mạng, cs-mạng, mạng

σ-mạnh, mạng chính quy theo điểm, các kết quả liên quan đến không gian

với cs∗

-mạng, cs-mạng, mạng σ-mạnh, mạng chính quy theo điểm và lời

giải chi tiết cho các Bài toán 2.

4

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức về topo đại

cương, các khái niệm và các tính chất trong chương này được chúng tôi

trình bày và chứng minh chi tiết nhằm hiểu thấu đáo hơn các kiến thức về

topo đại cương, cũng như nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả

chính của chương sau.

Sau đây là những ký hiệu được chúng tôi sử dụng trong toàn bộ

luận văn.

N = {1, 2, . . . }, ω = N ∪ {0}.

1.1. Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của

một tập hợp

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử τ là họ gồm các tập con nào đó của tập

hợp X thỏa mãn các điều kiện sau.

(a) ∅, X ∈ τ ;

(b) Nếu {Uα}α∈Λ ⊂ τ , thì S

α∈Λ

Uα ∈ τ ;

(c) Nếu U, V ∈ τ , thì U ∩ V ∈ τ .

Khi đó,

1) τ được gọi là một topo trên X.

5

2) Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo.

3) Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở.

4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó.

Nhận xét 1.1.2. Từ Định nghĩa 1.1.1 ta suy ra rằng

1) ∅, X là các tập hợp mở;

2) Giao hữu hạn tập hợp mở là một tập hợp mở;

3) Hợp tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở.

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử τ1, τ2 là các topo trên tập hợp X. Ta nói

rằng τ1 mạnh hơn τ2 hay τ2 yếu hơn τ1 nếu τ2 ⊂ τ1.

Ví dụ 1.1.4. Giả sử X là một tập hợp, τ1 là họ gồm tất cả các tập

con của X và τ2 = {∅, X}. Khi đó,

• τ1, τ2 là các topo trên X.

• τ1 mạnh hơn τ2.

• Trong (X, τ1), mỗi tập con vừa đóng vừa mở.

Lúc này, ta nói rằng τ1 là topo rời rạc và τ2 là topo thô trên X.

Ví dụ 1.1.5. Giả sử (X, d) là một không gian metric và

τ =



A ⊂ X : A là tập con mở trong (X, d)

.

Khi đó, τ là một topo trên X và ta nói rằng τ là topo được sinh bởi

metric d. Đặc biệt, nếu X = R và metric d là khoảng cách thông thường

trên R, nghĩa là

6

d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ R,

thì ta nói rằng τ là topo thông thường trên R.

Định nghĩa 1.1.6. Giả sử A là một tập con của không gian topo

(X, τ ). Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của A nếu tồn

tại V ∈ τ sao cho

A ⊂ V ⊂ U.

Ngoài ra, nếu U ∈ τ , thì ta nói rằng U là lân cận mở của A. Đặc biệt,

nếu A = {x}, thì ta nói rằng U là lân cận của x.

Nhận xét 1.1.7. Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập

hợp mở, nhưng mỗi tập hợp mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó.

Bổ đề 1.1.8. Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó,

giao hữu hạn lân cận của A là lân cận của A.

Nhận xét 1.1.9. Giao của một họ tùy ý gồm các lân cận của A có

thể không là một lân cận của A.

Bổ đề 1.1.10. Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là

tương đương.

1) U là tập hợp mở;

2) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó;

3) Với mọi x ∈ U, tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U.