Không gian với g-hàm cơ sở yếu và một số định lí khả mêtric

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Lý thuyết về không gian mêtric suy rộng chủ yếu đề cập đến

những lớp không gian nào đó có cấu trúc của không gian mêtric

hoặc những lớp không gian xác định bằng cách suy rộng khái niệm

hàm mêtric. Nó có nhiều ứng dụng trong nhóm tôpô, lí thuyết

không gian hàm, lí thuyết chiều và nhiều lĩnh vực khác của toán

học. Lí thuyết này cũng thường xuất hiện trong lí thuyết khoa học

về máy tính và nó cũng liên quan chặt chẽ với lí thuyết khả mêtric

cũng như sự phân loại lẫn nhau giữa không gian và ánh xạ.

Mêtric hóa không gian tôpô là một trong những bài toán thu hút

được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong lĩnh vực Tôpô đại

cương. Từ những năm của thập niên 80 của thế kỉ trước, Nagata

đã sử dụng các tính chất của g-hàm để nghiên cứu tính khả mêtric

của không gian tôpô và thu được nhiều kết quả. Sau đó, bằng cách

thay cơ sở bởi cơ sở yếu, Z. Gao đã suy rộng khái niệm g-hàm thành

g-hàm cơ sở yếu để đặc trưng cho các lớp không gian khả mêtric.

Trong những năm gần đây, một số tác giả đã thu được nhiều kết

quả về tính khả mêtric của không gian mêtric suy rộng bằng cách

sử dụng các tính chất của g-hàm cơ sở yếu (xem [2,4,6,11,14,18]).

Ngoài ra, bằng cách thay cơ sở yếu bởi sn-mạng, L. Q. Tuyển đã

suy rộng khái niệm g-hàm cơ sở yếu thành g-hàm sn-mạng để đặc

trưng cho một số không gian mêtric suy rộng (xem [9]).

Với mong muốn giới thiệu và chứng minh lại một số kết quả liên

quan đến tính khả mêtric của không gian tôpô bằng cách sử dụng

g-hàm cơ sở yếu, chúng tôi chọn đề tài: “Không gian với g-hàm cơ

sở yếu và một số định lí khả mêtric”.

2. Mục đích nghiên cứu

Trong luận văn, chúng tôi nghiên cứu những vấn đề trong Lí

thuyết không gian mêtric suy rộng với mục đích như sau:

(1) Chứng minh chi tiết một số định lí về mêtric hóa của không

2

gian tôpô nhờ sử dụng các tính chất của g-hàm trong [5,20].

(2) Chứng minh chi tiết một số kết quả liên quan đến các mạng,

các phủ và các không gian. Từ đó, chứng minh một số đặc

trưng của không gian sn-đối xứng, không gian snf-đếm được

và không gian sn-khả mêtric thông qua g-hàm sn-mạng trong

[2].

3. Đối tượng nghiên cứu

Không gian khả mêtric, không gian mêtric suy rộng, g-hàm sn￾mạng, g-hàm cơ sở yếu.

4. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán mêtric hóa không gian tôpô bằng cách sử

dụng các tính chất của g-hàm , g-hàm cơ sở yếu, g-hàm sn-mạng

trong Lí thuyết về không gian mêtric suy rộng, thuộc lĩnh vực Tôpô

đại cương.

5. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong

quá trình nghiên cứu đề tài và thực hiện theo quy trình như sau.

(1) Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.

(2) Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu

liên quan đến g-hàm cơ sở yếu, g-hàm sn-mạng và tính khả

mêtric của không gian tôpô.

(3) Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lí thuyết, có thể sử dụng như tài liệu

tham khảo cho những ai đang quan tâm nghiên cứu bài toán về

3

tính khả mêtric của không gian tôpô bằng cách sử dụng các tính

chất của g-hàm, g-hàm cơ sở yếu và g-hàm sn-mạng.

7. Cấu trúc luận văn

Luận văn được trình bày trong ba chương. Ngoài ra, luận văn

còn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần

Kết luận, Tài liệu tham khảo.

Chương 1. Chương này hệ thống lại các khái niệm, kiến thức

cơ bản về không gian tôpô và không gian mêtric để thuận tiện cho

việc chứng minh các kết quả ở các chương tiếp theo.

Chương 2. Trình bày các khái niệm và tính chất của cơ sở yếu,

g-hàm, g-hàm cơ sở yếu đồng thời hệ thống lại cũng như chứng

minh chi tiết một số kết quả về không gian với g-hàm cơ sở yếu và

một số định lí khả mêtric thông qua g-hàm cơ sở yếu.

Chương 3. Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm

và một số tính chất của g-hàm sn-mạng. Nó là một suy rộng của

khái niệm g-hàm cơ sở yếu. Chứng minh đặc trưng của không gian

snf-đếm được, sn-đối xứng và sn-khả mêtric nhờ các tính chất của

g-hàm sn-mạng. Từ đó, thu được một số đặc trưng của các không

gian gf-đếm được, không gian đối xứng, không gian g-khả mêtric

nhờ các tính chất của g-hàm cơ sở yếu.

4

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ THUYẾT

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính

chất của không gian tôpô trong [5] nhằm để phục vụ cho việc chứng

minh Chương 2 và Chương 3.

1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA KHÔNG

GIAN TÔPÔ

1.1.1 Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp và τ là họ gồm các tập

con nào đó của X thỏa mãn các điều kiện sau.

(a) ∅, X ∈ τ

(b) Nếu U, V ∈ τ , thì U ∩ V ∈ τ .

(c) Nếu {Uα}α∈Λ ⊂ τ , thì S

α∈Λ

Uα ∈ τ .

Khi đó,

(1) τ được gọi là một tôpô trên X.

(2) Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô.

(3) Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở.

(4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó.

1.1.2 Định nghĩa. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ).

Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của tập A nếu tồn

tại V ∈ τ sao cho

A ⊂ V ⊂ U.

Ngoài ra, nếu U ∈ τ , thì ta nói rằng U là lân cận mở của A. Đặc biệt,

nếu A = {x}, thì ta nói rằng A là lân cận của x.

5

1.1.3 Định nghĩa. Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi

là tập hợp đóng trong X nếu X\A ∈ τ .

1.1.4 Định nghĩa. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ )

và x ∈ X. Khi đó,

(1) x được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho

x ∈ U ⊂ A.

(2) x được gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho

x ∈ U ⊂ X\A.

(3) x được gọi là điểm biên của A nếu x đồng thời không là điểm

trong và không là điểm ngoài của A, nghĩa là với mọi lân cận

U của x ta có

U ∩ A 6= ∅, U ∩ X \ A 6= ∅.

(4) x được gọi là điểm tụ của A nếu với mọi lân cận của x ta đều

có

U ∩ (A \ {x}) 6= ∅.

(5) x được gọi là điểm cô lập của X nếu nó không là điểm tụ của

X.

1.1.5 Định nghĩa. Giả sử A là tập hợp con của không gian tôpô

(X, τ ). Khi đó,

(1) Tập tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A

và ký hiệu là IntA.

(2) Tập tất cả các điểm ngoài của A được gọi là phần ngoài của A

và ký hiệu là ExtA.

(3) Tập tất cả các điểm biên của A được gọi là biên của A và ký

hiệu là ∂A.

(4) Tập tất cả các điểm tụ của tập A được gọi là tập dẫn xuất của

A và ký hiệu là Ad

.

1.1.6 Định nghĩa. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ).

Khi đó, giao của tất cả các tập con đóng trong X chứa A được gọi

là bao đóng của A và ký hiệu A.

6

1.2. CƠ SỞ VÀ CƠ SỞ LÂN CẬN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ

1.2.1 Định nghĩa. Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô và B ⊂ τ .

Ta nói rằng B là cơ sở của (X, τ ) (hay là cơ sở của τ ) nếu mỗi phần

tử của τ là hợp nào đó các phần tử của B.

1.2.2 Nhận xét. Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và B ⊂ τ . Khi đó,

(1) Nếu B là cơ sở của τ , thì mỗi phần tử của B là một tập hợp mở

trong X, nhưng mỗi tập hợp mở trong X có thể không thuộc

B.

(2) B là cơ sở của không gian tôpô (X, τ ) khi và chỉ khi với mọi

U ∈ τ và mọi x ∈ U, tồn tại V ∈ B sao cho x ∈ V ⊂ U.

1.2.3 Định lí. Giả sử B là một cơ sở của không gian tôpô (X, τ ). Khi

đó, các khẳng định sau là đúng.

(1) Nếu U, V ∈ B, thì với mọi x ∈ U ∩ V , tồn tại W ∈ B sao cho

x ∈ W ⊂ U ∩ V.

(2) Với mọi x ∈ X, tồn tại U ∈ B sao cho x ∈ U.

1.2.4 Định nghĩa. Giả sử Ux là họ gồm tất cả các lân cận của x. Ta

nói rằng họ Bx ⊂ Ux là một cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U ∈ Ux,

tồn tại V ∈ Bx sao cho

x ∈ V ⊂ U.

1.2.5 Định lí. Giả sử x ∈ X và Bx là cơ sở lân cận tại x. Khi đó,

(1) x ∈ U với mọi U ∈ Bx và Bx 6= ∅ với mọi x ∈ X.

(2) Nếu x ∈ V ∈ By, thì với mọi x ∈ V , tồn tại U ∈ Bx sao cho

U ⊂ V .

(3) Nếu U, V ∈ Bx, thì tồn tại W ∈ Bx sao cho W ⊂ U ∩ V .

1.2.6 Định nghĩa. Giả sử X là một không gian tôpô. Khi đó,