Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị

www.truongthi.com.vn Môn Toán

KHẢO SÁT H ÀM SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ

Giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cần tiến hành các bước sau

1) Tìm tập xác định, xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn.

Nếu hàm số chẵn hay lẻ chỉ cần khảo sát x ≥ 0, với x < 0 hàm số có tính đối

xứng.

Nếu hàm tuần hoàn thì chỉ cần xét trên một chu kì.

2) Tính y’, y”

Xét dấu y’ để tìm khoảng đơn điệu.

Xét dấu y” để tìm các khoảng lồi lõm, điểm uốn.

3) Tìm các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn

Tìm các đường tiệm cận.

Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục.

4) Lập bảng biến thiên.

5) Vẽ đồ thị.

Vẽ các đường tiệm cận (nếu có), chỉ rõ các điểm đặc biệt (cực đại, cực tiểu,

điểm uốn, các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ).

Chú ý nếu hàm y = f(x) chẵn thì đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng, còn

nếu hàm y = f(x) lẻ thì đồ thị có tâm đối xứng là gốc tọa độ.

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

a) Hàm bậc hai : y = ax

2

+ bx + c a ≠ 0

Ta có

2 2 b 4ac

y a x 2a 4a

  − = + +    

b

Đồ thị đường parabol được suy từ đồ thị hàm y = ax

2

bằng phép tịnh tiến

song song theo véctơ

2 b 4ac b

r , 2a 4a

  − = − 

 

r .

Với a > 0, min

2 4ac b

y 4a

− = đạt được tại b

x 2a = − . Hàm tăng trên

b , 2a

   − +∞

  , giảm trên

b , 2a

 

−∞ −     .

Với a < 0, max

2 4ac b

y 4a

− = , đạt được tại b

2a x = − . Hàm tăng trên

( ) −∞, b− / 2a , giảm trên ( −b / 2a, +∞).

b) Hàm bậc ba: y = f(x) = ax3

+ bx2

+ cx + d a ≠ 0.

− Tập xác định (− ∞, + ∞)

− Ta có y’ = 3 ax

2

+ 2bx + c, ∆’y’ = b2 − 3 ac

y” = 6 ax + 2 b

Nếu a > 0 thì

+ Với b2 − 3ac < 0, y’ > 0 với mọi x, khi đó hàm luôn đồng biến.

+ Với b2 − 3ac > 0, phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 và

y’ > 0 ⇔ x ∉ [x1, x2].

Hàm số tăng (giảm) trên (−∞, x1) và (x2, + ∞) (tương ứng, trên (x1, x2)).

Điểm cực đại (cực tiểu) là (x1, y(x1)) (tương ứng (x2, f(x2)).

Nếu a < 0 thì

+ Với b2 − 3ac < 0, y’ < 0 với ∀x, hàm y luôn nghịch biến.

2 1