Cực trị hàm nhiều biến

Tìm cực trị của hàm số nhiều biến bằng cách

khảo sát lần lượt từng biến

Để tìm cực trị hàm số ta có thể dùng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến

nghĩa là: tìm GTLN,(GTNN) của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại coi

là tham số, tìm GTLN,(GTNN) vủa hàm số với biến thứ hai rồi ứng với giá trị đã

xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại là tham số…

Ta cùng xét các ví dụ :

Bài toán 1:

Xét hàm số f(x,y) = (1 – x)(2 – y)(4x – 2y)

trên D = { (x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 }

Tìm GTNN của f trên D.

Giải:

Biến đổi hàm số đã cho thành:

f(x,y) = 2(1 – x)(2 – y)[ (2 – y) – 2(1 – x) ]

Đặt

1

2

v x

u y

 = − 

 = −

ta chuyển về tìm GTNN của hàm số :

F(u,v) = –2uv2

+ u2

v trên E = { (u,v) | 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2 }

Nghĩa là 2 2

0 2 0 1

min ( , ) min[ min ( 2 )]

u v

F u v uv u v

≤ ≤ ≤ ≤

= − +

Xét hàm số g(v) = –2uv2

+ u2

v ( 0 ≤ v ≤ 1) và u là tham số thỏa mãn 0 ≤ u ≤ 2.

→ g’(v) = 0 khi 0 0

1

&0

4 2

u

v v = ≤ ≤ và qua v0 thì g’(v) đổi dấu từ (+) → (–)

Suy ra min g(v) = min { g(0); g(1) } = min{0; u2

– 2u} = u2

– 2u ( do 0 ≤ u ≤ 2 )

→

2

( , ) 0 2

min ( , ) min ( 2 ) 1

u v E u

F u v u u

∈ ≤ ≤

= − = − tương ứng với u = v = 1

Từ đó min f(x,y) = 2min F(u,v) = –2 khi x = 0, y = 1.

Cách giải này có thể áp dụng vào các bài toán mà các biến phụ thuộc với nhau theo

một đẳng thức (BT2) , một bất đẳng thức (BT3) hoặc một hệ phương trình (BT4)

cho trước.

Bài toán 2:

Xét a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện abc + a + c = b.

Tìm GTLN của biểu thức:

2 2 2

2 2 2

1 1 1

P

a b c

= − +

+ + +

Biến đổi giải thiết thành a+c = b(1 – ac) > 0 →

1

(1)

1

a

c

a c b

ac



< 



+  =

 −

Thay (1) vào biểu thức P và biến đổi thành: