Chuyên đề hình học không gian - 2 pps

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và SA vuông góc

với mp(ABCD) .Cho AB = a , SA = a 2 . Gọi H, K, lần lượt là hình chiếu vuông góc

của A lên SB và SD. Chứng minh SC vuông góc với mp(AHK) và tính thể tích hình chóp

O.AHK.

Giải:

A

O

D C

B

S

H

K

M

Ta có: ∆ SAD = ∆ SAB ⇒ AK = AH ⇒ ∆ SAK = ∆ SAH

⇒SK = SH ⇒HK//BD

Mà BD ⊥ mp(SAC)⇒ HK ⊥ mp(SAC) ⇒HK ⊥ SC (1)

Mặt khác : CD ⊥ mp(SAD) ⇒ CD ⊥ AK

Mà AK ⊥ SD nên AK ⊥ (SCD) ⇒ SC⊥ AK (2)

Từ (1) và (2) ⇒ SC⊥ mp(AHK)

Trong mp(SBD) thì SO cắt HK tại I

Trong mp(SAC) thì AI cắt SC tại M

Ta có : SC⊥ mp(AHK) ⇒ SC⊥ AM

Mà SAC vuông cân tại A nên M là trung điểm SC

Vậy I là trọng tâm SAC

Ta có : CM = d(C , mp(AHK)) =

2

SC

=

2

2

a

= a

Mà O trung điểm AC nên ( ,( )) 1

( ,( )) 2

d O AHK OA

d C AHK AC

= =

⇒h = d( O, (AHK)) =

1

2

CM =

2

a

Ta có :

2

SA

HK SH HK SB

BD SB BD SB

= ⇒ =

2 2

2 2

2 2 . 2. 2

3 3

SA a HK BD a a

SB a

⇒ = = =

Ta có: AI =

2

3

AM =

2

3

.

2

SC

=

3

SC

=

2

3

a

Mà HK ⊥ mp(SAC) ⇒ HK ⊥ AI