Chuyên đề hình học không gian - 1 pps

Bài 10 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD

theo một thứ tự tại K, L, M, N.

Chứng minh rằng: SA SC SB SD

SK SM SL SN

+ = + .

Giải:

Các tứ diện MSKL và CSKL có cùng đáy SKL nên tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số hai đường cao tương

ứng MM' và CC':

'

'

MSKL

CSKL

V MM

V CC

=

MSKL

CSKL

V SM

V SC

⇒ =

(1)

Các tứ diện CSKL và CSAB có cùng chiều cao là khoảng cách từ C đến mp (SAB) nên tỉ số thể tích của chúng

bằng tỉ số diện tích của 2 đáy tương ứng:

1

.

. 2

1 .

.

2

CSKL SKL

CSAB SAB

SK SL V S SK SL

V S SA SB SA SB

= = = (2)

Từ (1) và (2), ta có:

. . . .

.

. . . .

MSKL

SKLM SABC

CSAB

V SK SL SM SK SL SM V V

V SA SB SC SA SB SC

= ⇔ =

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: ∆ = ∆ ABC ADC

1 1

2 2

V V V V SABC SADC SABCD = = =

trong đó V là thể tích của hình chóp S.ABCD

1 . .

. .

2 . . SKLM

SK SL SM V V

SA SB SC

⇒ =

Tương tự, ta có:

1 . .

. .

2 . . SKMN

SK SM SN V V

SA SB SD

=

.

. .

2

S KLMN

V SK SM SL SN V

SA SC SB SD

  ⇒ = +  ÷   (3)

Tương tự, ta có:

V V V S KLMN SKLN SMLN . = +

1 . . 1 . .

. . . .

2 . . 2 . .

SK SL SN SL SM SN V V

SA SB SD SB SC SD

= +

. . .

2

V SL SN SK SM

SB SD SA SC

 

= +  ÷   (4)

Từ (3) và (4), ta có:

. . .

SK SM SL SN SL SN SK SM

SA SC SB SD SB SD SA SC

   

+ = +  ÷  ÷    

⇔ + = + SB SK SM SN SD SK SL SM SC SK SL SN SA SL SM SN . . . . . . . . . . . .

j

M'

B

D C

S

C'

M

K

N

L