Chuyên đề hình học Cực và đối cực

KHÁM PHÁ ͨNG DͤNG CͦA CͰC VÀ Ĉ͐I

CͰC

Hoàng Qu͑c Khánh

Cͱc và ÿ͑i cͱc là m͙t công cͥ mɞnh và thú vʈ cͧa hình h͍c.V͛i cͱc và ÿ͑i

cͱc ta có thʀ ÿɉa ra cách nhìn khá nhɢt quán v͛i m͙t s͑ dɞng toán ÿɴc

trɉng (quan hʄ vuông góc,thɰng hàng,ÿ͓ng quy,...).

Cͱc và ÿ͑i cͱc mà thɉ͝ng gɴp ͟ bɪc THPT là cͱc và ÿ͑i cͱc v͛i ÿɉ͝ng

tròn hoɴc cɴp ÿɉ͝ng thɰng.Ĉây là m͙t bài viɼt ÿɾ cɪp ÿɼn ͩng dͥng cͧa

cͱc và ÿ͑i cͱc ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn !!!!

A/ ĈIɽU KIʃN CͦA BɝN Ĉ͌C.

Ĉʀ có thʀ hiʀu cɴn kɺ bài viɼt này m͗i bɞn ÿ͍c cɤn trang bʈ cho mình

nhͯng kiɼn thͩc cɇ s͟ vɾ hình h͍c phɰng và vɾ phép nghʈch ÿɠo, hàng

ÿiʀm ÿiɾu hòa,chùm ÿiɾu hòa,tͩ giác ÿiɾu hòa,ÿɉ͝ng tròn trͱc giao,ÿʈnh

lí Pappus,ÿʈnh lí Pascal

(các bɞn có thʀ xem m͙t chút ͟ ÿây http://forum.mathscope.org

B/ KIɻN THͨC CɆ S͞ Vɽ CͰC VÀ Ĉ͐I CͰC Ĉ͐I V͚I

M͘T ĈɈ͜NG TRÒN

I/ĈʇNH NGHŚA

Ĉʈnh nghśa : Trên mɴt phɰng cho ÿɉ͝ng tròn (O,R) và m͙t ÿiʀm S khác O.

Phép nghʈch ÿɠo cͱc O phɉɇng tích biɼn S thành S'.

G͍i d là m͙t ÿɉ͝ng thɰng qua S' và vuông góc v͛i OS. Khi ɢy ta g͍i:

d là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn (O)

S là cͱc cͧa d ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn (O).

*Ghi chú: Có thʀ nhiɾu bɞn sɺ thɢy ÿʈnh nghśa này hình nhɉ khác v͛i các ÿʈnh

nghśa ph͕ biɼn ͟ Viʄt Nam (chɰng hɞn xem [2] hoɴc [4]) tuy nhiên tác giɠ thɢy

rɮng ÿʈnh nghśa trên ngɬn g͍n hɇn mà vɨn ÿɠm bɠo tính chính xác cͧa vɢn ÿɾ

nên ÿã ch͍n nó và cŸng rɢt vui vì thɢy trong [5] cŸng dùng nó.

II/M͘T S͐ ĈʇNH LÍ:

Trong mͥc này ,các ÿʈnh lí sɺ chɉa ÿɉa ra chͩng minh ngay vì lí do riêng.

Mong bɞn ÿ͍c thông cɠm.Khi nào có ÿiɾu kiʄn tôi sɺ gi͛i thiʄu ÿɤy ÿͧ

chͩng minh cͧa chúng.

Ĉʈnh lí 1: Tɪp hͣp các ÿiʀm P liên hͣp v͛i ÿiʀm S (cho trɉ͛c) ÿ͑i v͛i ÿɉ͝ng tròn

(O) là ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S. (Ta nói hai ÿiʀm S và P liên hͣp v͛i nhau ÿ͑i v͛i

ÿɉ͝ng tròn (O) nɼu ÿɉ͝ng tròn ÿɉ͝ng kính SP trͱc giao v͛i (O).)

Tͫ ÿây ta thu ÿɉͣc :

Hʄ quɠ 1: V͛i hai ÿiʀm S,P trên mɴt phɰng mà P nɮm trên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S

ÿ͑i v͛i (O) và SP cɬt (O) ͟ M,N thì b͑n ÿiʀm S,P,M,N lɪp thành 1 hàng ÿiʀm ÿiɾu

hòa.

Hʄ quɠ 2: (ÿɠo cͧa hʄ quɠ 1).V͛i hai ÿiʀm S,P trên mɴt phɰng mà SP cɬt (O) ͟

M,N th͏a mãn b͑n ÿiʀm S,P,M,N lɪp thành 1 hàng ÿiʀm ÿiɾu hòa thì P nɮm trên

ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S và S nɮm trên ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa P.

Ĉʈnh lí 2: OS vuông góc v͛i ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S. (hiʀn nhiên!)

Ĉʈnh lí 3:V͛i hai ÿiʀm S, Q.Ĉɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿi qua Q khi và chʆ khi ÿɉ͝ng

ÿ͑i cͱc cͧa Q sɺ ÿi qua S.(Ĉʈnh lí La Hire)

Ĉʈnh lí 4 : Ba ÿiʀm (khác tâm ÿɉ͝ng tròn xét cͱc và ÿ͑i cͱc) thɰng hàng khi và

chʆ khi ba ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa chúng ÿ͓ng quy hoɴc song song.

Ĉʈnh lí 5: B͑n ÿiʀm (khác tâm ÿɉ͝ng tròn xét cͱc và ÿ͑i cͱc) lɪp thành 1 hàng

ÿiʀm ÿiɾu hòa khi và chʆ các ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa chúng lɪp thành 1 chùm ÿiɾu

hòa.

III/M͘T S͐ CÁCH XÁC ĈʇNH ĈɈ͜NG Ĉ͐I CͰC THÔNG DͤNG

Ĉây sɺ là m͙t phɤn rɢt quan tr͍ng ÿʀ bɞn có thʀ tɉ duy nhanh theo l͑i cͱc ÿ͑i

cͱc!

Trɉ͝ng hͣp 1: Khi cͱc S ͟ ngoài ÿɉ͝ng tròn (O)

Ta có 2 cách dͱng ÿɇn giɠn sau ÿây :

_Cách 1: Tͫ S kɸ t͛i (O) hai tiɼp tuyɼn SA,SB (A,B là tiɼp ÿiʀm ) .Khi ÿó ÿɉ͝ng

ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O) là AB

Gͣi ý chͩng minh: Dͱa vào ÿʈnh nghśa.

_Cách 2:Tͫ S kɸ t͛i (O) hai cát tuyɼn SAB,SCD. Giɠ sͭ AD cɬt BC ͟ E, AC cɬt BD

͟

F.Khi ÿó ÿɉ͝ng ÿ͑i cͱc cͧa S ÿ͑i v͛i (O) là EF.

Gͣi ý chͩng minh: Giɠ sͭ FE cɬt AB,CD lɤn lɉͣt ͟ M,N.Hãy dùng ÿʈnh lí Menelaus

hoɴc kiɼn thͩc vɾ tʆ s͑ kép ÿʀ chͩng minh: (SMAB)=(SNCB) =-1 r͓i dùng hʄ quɠ

2 là ra.