BÀI TẬP SỐ PHỨC (98 VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI) pps

TITU ANDREESCU

DORIN ANDRICA

Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN)

BÀI TẬP SỐ PHỨC

(98 VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI)

Bài tập số phức

Lê Lễ [email protected] Page 2

LỜI GIỚI THIỆU

Như tên sách, ‘’Complex Numbers from A to Z’’, nội dung nguyên bản phủ hầu khắp các

vấn đề liên quan số phức: từ xây dựng trường số phức, số phức dạng lượng giác, đến

hình học phức...

Người dịch chỉ chọn lọc một số vấn đề lý thuyết, bài tập cơ bản, nâng cao của số phức

để giới thiệu bằng tiếng Việt, ngõ hầu phục vụ đối tượng bạn đọc là học sinh trung học

phổ thông, sinh viên, người không chuyên làm toán với số phức.

Trong khả năng có thể, người dịch cố gắng dùng những thuật ngữ phổ biến nhất hiện

nay. Tuy nhiên không thể không dùng những thuật ngữ nếu thiếu nó thì khó lòng diễn

đạt các vấn đề về số phức.

Mọi việc dù muốn hay không, cũng có thể gây ra thiếu, sót (hạn chế sai, lầm). Mong các

em học sinh, sinh viên và quý vị thông cảm.

Người dịch.

Bài tập số phức

Lê Lễ [email protected] Page 3

Mục lục1

Mục lục............................................................................................................................................. 3

1. Dạng đại số của số phức .................................................................................................................. 5

1.1 Định nghĩa số phức................................................................................................................. 5

1.2 Tính chất phép cộng................................................................................................................ 5

1.3 Tính chất phép nhân ............................................................................................................... 5

1.4 Dạng đại số của số phức .......................................................................................................... 6

1.5 Lũy thừa của đơn vị ảo i .......................................................................................................... 8

1.6 Số phức liên hợp .................................................................................................................... 8

1.7 Môđun của số phức............................................................................................................... 10

1.8 Giải phương trình bậc hai ...................................................................................................... 14

1.9 Bài tập............................................................................................................................... 17

1.10 Đáp số và hướng dẫn............................................................................................................. 22

2. Biểu diễn hình học của số phức ....................................................................................................... 25

2.1 Biểu diễn hình học của số phức................................................................................................ 25

2.2 Biểu diễn hình học của Môđun ................................................................................................ 26

2.3 Biểu diễn hình học các phép toán ............................................................................................. 26

2.4 Bài tập............................................................................................................................... 29

2.4 Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................................. 30

3 Dạng lượng giác của số phức .......................................................................................................... 31

3.1 Tọa độ cực của số phức ......................................................................................................... 31

3.2 Biểu diễn lượng giác của số phức ............................................................................................. 33

3.2 Các phép toán trên dạng lượng giác số phức............................................................................... 37

3.4 Biểu diễn hình học của tích hai số phức ..................................................................................... 40

3.5 Bài tập ............................................................................................................................... 41

3.6 Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................................. 44

4 Căn bậc n của đơn vị .................................................................................................................... 45

4.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức ............................................................................................ 45

4.2 Căn bậc n của đơn vị ............................................................................................................ 47

4.3 Phương trình nhị thức ........................................................................................................... 51

4.4 Bài tập............................................................................................................................... 52

4.5 Đáp số và hướng dẫn.................................................................................................................. 53

1 Có thể click chuột lên tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng

Bài tập số phức

Lê Lễ [email protected] Page 4

Bài tập số phức

Lê Lễ [email protected] Page 5

1. Dạng đại số của số phức

1.1 Định nghĩa số phức

Xét

2 R R R x y R {( , )| , } x y .

Hai phần tử

1 1 (x , ) y

và

2 2 (x , ) y

bằng nhau ⇔

1 2

1 2

x x

y y

.

∀

1 1 2 2 ( ( x , ), y y x , )

∈ ℝ

2

:

Tổng

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 z z x y x x y ( , ) ( , ) ( , ) y x y

∈ ℝ

2

.

Tích

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z .z x y x y x y ( , ).( , ) ( , ) x x y x y y

∈ ℝ

2

.

Phép toán tìm tổng hai số phức gọi là phép cộng.

Phép toán tìm tích hai số phức gọi là phép nhân.

Ví dụ 1.

a)

1 2 z ( 5,6), (1, 2) z

1 2 z z ( 5,6) (1, 2) ( 4,4).

1 2 z z ( 5,6)(1, 2) ( 5 12,10 6) (7,16).

b)

1 2

1 1 1 ( ,1), ( , )

2 3 2

z z

1 2

1 1 1 5 3 ( ,1 ) ( , )

2 3 2 6 2

z z

1 2

1 1 1 1 1 7 ( , ) ( , )

6 2 4 3 3 12

z z

Định nghĩa. Tập ℝ

2

, cùng với phép cộng và nhân ở trên gọi là tập số phức ℂ . Phần tử (x,y)∈ℂ

gọi là một số phức.

1.2 Tính chất phép cộng

(1) Giao hoán:

1 2 2 1 1 2 z z z z z z C , , .

(2) Kết hợp:

1 2 3 3 1 2 3 1 2 ( , z z z z z z ) z z C ( ), , z .

(3) Tồn tại phần tử không:

0 (0,0) , 0 0 , C z z z z C .

(4) Mọi số có số đối:

z C z C z z z z , : ( ) ( ) 0.

Số

1 2 1 2 z z z z ( )

: hiệu của hai số

1 2 z ,z

. Phép toán tìm hiệu hai số gọi là phép trừ,

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 z z x y x x y ( , ) ( , ) ( , ) y x y

∈ ℂ.

1.3 Tính chất phép nhân

(1) Giao hoán:

1 2 2 1 1 2 z z. . z z C z , ,z .