Bài tập số học

Bài 1: Cho hai số nguyên tố p , q phân biệt và số nguyên dương a thỏa mãn

2 1 1 ... q

a a a p 

     . Chứng minh rằng: p q 1(mod ) .

Bài 2: Cho số nguyên tố p thỏa mãn p  2(mod3). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên

n luôn tồn tại vô số số nguyên m thỏa mãn 3

n m p  (mod ).

Bài 3: Tìm các số nguyên tố p , q thỏa mãn (3 7 )(3 7 ) p p q q

pq   .

Bài 4: Cho p nguyên tố, a và b nguyên thỏa mãn:( , ) 1 a b  , a b p  (mod ). Chứng

minh rằng: Với mọi số nguyên dương n luôn có ( ) ( ) ( ) n n

p p p

v a b v a b v n     .

Bài 5: Tìm số nguyên dương n lớn hơn 1 thỏa mãn: 2

2 1 n

 n .

Bài 6: Cho số nguyên tố p thỏa mãn p 1(mod3) . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên x

thỏa mãn x p  1(mod ) và

3

x p 1(mod ).

Bài 7: Cho số nguyên tố p , p 1(mod3) và hai số a , b nguyên dương thỏa mãn: Nếu

x y, nguyên thỏa mãn 3 3 ax bx ay by p    (mod ) thì x y p  (mod ) . Chứng minh

rằng: b không chia hết cho p và a chia hết cho p .

Bài 8: Cho số nguyên dương n lớn hơn 5. Chứng minh rằng không tồn tại p q, nguyên

dương thỏa mãn: p q n   và 1

2 1 3 2.3 n p q 

   .

Bài 9: Cho số nguyên tố p và số nguyên dương n thỏa mãn: p không lớn hơn ước

nguyên tố nhỏ nhất của n và 2 1 n

  p .Chứng minh rằng p  3 .

Bài 10: Chứng minh rằng không tồn tại ba số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng

nhau thỏa mãn: 2 1 a

 b , 2 1 b

 c , 2 1 c

 a .

Bài 11: Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương n thoả mãn 2 1 n

 n .

Bài 12: Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x y z , , thoả mãn

2

3

z

x y   ,

z  3(mod 4) .

Bài 13: Cho 3 số nguyên dương a b c , , thoả mãn ( , , ) 1 a b c  . Chứng minh rằng tồn tại

số nguyên dương n sao cho với mọi số nguyên dương k ta luôn có

k k k a b c   không

chia hết cho 2

n

.

Bài 14: Cho số nguyên tố p thoả mãn p 1(mod 4)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

1

1,2,...,

2

p

a

  

    luôn tồn tại duy nhất

số nguyên dương

1

1, 2,...,

2

p

b

  

    thoả mãn 2 2 a b p   0(mod ) .

b) Chứng minh rằng

1

2 2 2

1

2 1 2

4

p

k

k k p

p p





      

              

c) Chứng minh rằng

1

2 2

1

( 1)( 5)

24

p

k

k p p

p





   

      .