Về tính ổn định của phương trình hàm cauchy.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ BÍCH HUYỀN

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG

TRÌNH HÀM CAUCHY

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60. 46. 01. 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Cao Văn Nuôi

Phản biện 1: PGS. TSKH. TRẦN QUỐC CHIẾN

Phản biện 2: GS. TS. LÊ VĂN THUYẾT

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào

ngày 27 tháng 6 năm 2015.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Phương trình hàm là một lĩnh vực quan trọng của giải tích toán

học. Phương trình hàm không chỉ là những đối tượng để nghiên cứu

mà bên cạnh đó nó còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực ứng

dụng vào các lĩnh vực khác. Chuyên đề phương trình hàm là một

trong những phần hay được đưa vào bồi dưỡng cho các học sinh ở

các trường trung học phổ thông chuyên. Và các dạng toán khác nhau

có liên quan đến phương trình hàm cũng thường xuất hiện trong các

kì thi học sinh giỏi cũng như các kì thi Olympic toán quốc gia và

quốc tế.

Trong những năm gần đây, các nhà toán học tiếp cận phương

trình hàm với nhiều mục tiêu nghiên cứu khác nhau. Trong đó, vấn

đề về tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cũng được các nhà

toán học đặc biệt quan tâm nghiên cứu. Trong khi nghiên cứu, các

nhà khoa học đặt ra câu hỏi: Nếu thay đổi một ít các giả thiết của một

định lý thì liệu có thể khẳng định những kết luận của định lý vẫn còn

đúng hoặc “đúng xấp xỉ” hay không ? Và mở rộng vấn đề này khi

nghiên cứu tính ổn định của phương trình hàm Cauchy là: Nếu có

một sự biến đổi nhỏ trong công thức hay phương trình thì có sự biến

đổi nhỏ nào đó trong kết quả tương ứng hay không? Đây là vấn đề

mở đầu cho việc nghiên cứu về tính ổn định của một phương trình

hàm.

Với những lí do trên và khả năng tìm hiểu, nghiên cứu về vấn

đề phương trình hàm tôi chọn đề tài: “Về tính ổn định của phƣơng

trình hàm Cauchy” làm luận văn tốt nghiệp bậc cao học của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Luận văn “ Về tính ổn định của phương trình hàm Cauchy”

2

nhằm giải thích và khảo sát về tính ổn định của phương trình hàm

Cauchy. Trong đó trình bày định lý của nhà toán học Hyers về tính

ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm

mũ Cauchy và ổn định kiểu Ger của phương trình hàm mũ.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là phương trình hàm

Cauchy và ứng dụng, phương trình hàm mũ Cauchy và một số lý

thuyết, định lý liên quan đến tính ổn định của phương trình hàm

Cauchy. Đồng thời tìm hiểu khái quát về sự ra đời của phương trình

hàm.

Phạm vi nghiên cứu: Luận văn chủ yếu đề cập đến phương

trình hàm Cauchy và các định lý về tính ổn định của phương trình

hàm có liên quan.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

Phương pháp tự nghiên cứu, tìm hiểu, thu thập các tài liệu từ

sách tiếng Anh, sách tham khảo, giáo trình của Giáo sư Nguyễn Văn

Mậu và các tài liệu nghiên cứu khác có liên quan đến khảo sát tính

ổn định của phương trình hàm Cauchy.

Phương pháp phân tích, tổng hợp các tài liệu và trao đổi với

giáo viên hướng dẫn để trình bày nội dung các vấn đề của luận văn

một cách phù hợp.

5. Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, ba chương và danh mục

tài liệu tham khảo.

Chương 1. Trình bày tóm tắt vài nét về sự ra đời của phương

trình hàm, cơ sở lý thuyết, các dạng bài toán phương trình hàm

Cauchy và ứng dụng.

Chương 2. Trình bày tính ổn định của phương trình hàm

3

Cauchy cộng tính như: dãy Cauchy, định lý Hyers, tổng quát hóa của

định lý Hyers.

Chương 3. Trình bày tính ổn định của phương trình hàm mũ

Cauchy như: phương trình hàm mũ, phương trình hàm Cauchy nhân

tính, ổn định kiểu Ger của phương trình hàm mũ.

6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Đề tài nêu ra các lý thuyết phương trình hàm Cauchy và hệ

thống bài tập, phương pháp giải một số bài toán về phương trình hàm

có ứng dụng phương trình hàm Cauchy. Khảo sát tính ổn định của

phương trình hàm Cauchy cộng tính, nhân tính và phương trình hàm

mũ Cauchy.

4

CHƢƠNG 1

LỊCH SỬ PHƢƠNG TRÌNH HÀM VÀ CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Ở chương 1, chúng tôi giới thiệu các kiến thức cơ sở sẽ được

sử dụng trong luận văn. Chương này trình bày lịch sử phương trình

hàm và các định nghĩa, định lý cơ bản và các dạng toán về phương

trình hàm Cauchy.

1.1. SỰ RA ĐỜI CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM

1.1.1. Nicole Orsme (1323-1328)

1.1.2. Gregory of Saint- Vincent (1584-1667)

1.1.3. Augustin- Louis Cauchy (1789-1857)

1.1.4. Jean d’Alembert (1717-1783)

1.2. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƢƠNG TRÌNH HÀM

Phương trình hàm là phương trình đặc biệt mà ẩn của nó là các

hàm số, giải phương trình hàm là việc tìm tất cả các hàm số thỏa mãn

phương trình hàm đã cho và một số điều kiện cho trước.

Sau đây là một số ví dụ về phương trình hàm

Ví dụ 1.1. Tìm hàm số

f x( )

biết

1

( ) 3

1

x

f x

x



 



, x 1. (1.6)

Ví dụ 1.2. Xác định các hàm số

f x( )

thỏa mãn điều kiện

f x f x x ( 2) 3 ( ) 2,       . (1.7)

Ví dụ 1.3. Hàm số

y f x  ( )

xác định, liên tục với mọi

x

và thỏa mãn điều kiện

f f x f x x x ( ( )) ( ) ,     .

Hãy tìm hai hàm số như thế.

5

Ví dụ 1.4. Tìm hàm

f x( )

biết

1

( ) 2,( 1, )

2 1 2

x

f x xf x x

x

           

. (1.10)

1.3. PHƢƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

Phương trình hàm Cauchy có một vai trò quan trọng trong

mảng toán về phương trình hàm. Trong lý thuyết về phương trình

hàm, phương trình hàm Cauchy được nghiên cứu từ rất lâu và các

tính chất của nó được ứng dụng nhiều trong các nghành khoa học và

tự nhiên. Nhờ phép biến đổi đưa về phương trình hàm Cauchy mà

nhiều bài toán về phương trình hàm được giải quyết ngắn gọn.

Định nghĩa 1.1. [4]. Phương trình hàm Cauchy là phương

trình hàm có dạng

f x y f x f y x y ( ) ( ) ( ), ,      .

Hàm

f

thỏa mãn phương trình

f x y f x f y x y ( ) ( ) ( ), ,     

được gọi là hàm cộng tính.

Ngoài ra, các dạng khác của phương trình hàm Cauchy là

Phương trình hàm nhân tính có dạng

f xy f x f y ( ) ( ) ( )  .

Phương trình hàm mũ có dạng

f x y f x f y ( ) ( ) ( )   .

Phương trình hàm logarit có dạng

f xy f x f y ( ) ( ) ( )   .

Bài toán 1.1. [4]. (Bài toán phương trình hàm Cauchy)

Cho hàm

f : 

là hàm số liên tục trên và thỏa mãn

f x y f x f y x y ( ) ( ) ( ), ,      . (1.12)

Khi đó tồn tại một số thực

a

sao cho

f x a x x ( ) . ,    .

6

Nhận xét 1.1. Trong bài toán trên, giả thiết hàm

f

liên tục

trên . Nhưng ta thấy chỉ cần giả thiết

f

liên tục tại một điểm

0

x 

cho trước là đủ. Khi đó hàm

f x( )

thỏa mãn (1.12) sẽ liên

tục trên .

Thật vậy, theo giả thiết thì

0

0

lim ( ) ( )

x x

f x f x



 .

Với mỗi

1

x 

, ta có

1 0 1 0 f x f x x x f x f x x ( ) ( ) ( ) ( ),        .

Suy ra

1 1

1 0 1 0 lim ( ) lim[ ( ) ( ) ( )]

x x x x

f x f x x x f x f x

 

    

0 1 0 1     f x f x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) .

Điều này chứng tỏ

f

liên tục tại mọi điểm

1

x 

hay

f

liên tục

trên .

Kết quả của Bài toán 1.1 sẽ không thay đổi nếu ta thay

bằng

;

hoặc

; 

tùy ý.

Nhận xét 1.2. Trong các bài toán thông thường, chúng ta

thường gặp các dạng bài toán cụ thể hơn. Chẳng hạn bài toán sau

Bài toán 1.2. Tìm các hàm số

f x( )

xác định và liên tục trên

thỏa mãn

1 2 ( ) ( ), 1 2

,

3 3 3 3

f x y f x f y x y           

.

Như vậy, giữa bài toán này và bài toán phương trình hàm

Cauchy có mối liên hệ với nhau.

Bây giờ ta sẽ xét bài toán tổng quát

Bài toán 1.3. (Phương trình hàm Cauchy mở rộng)

Cho bộ số

1 2 ( , , , ... } ) ( \{0 )

n

n

a a a 

. Tìm các hàm

f x( )

xác

định, liên tục trên và thỏa mãn điều kiện

1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ... .. ) ( .

n n n n f a x a x a x a f x a f x a f x        (1.13)

*

1 2 , , , ... ;

n     x x x n .

7

Nhận xét 1.3. Việc giải bài toán tổng quát cho ta một kết

quả rất hay. Tuy nhiên, giả thiết của bài toán tổng quát là liên tục

trên . Do đó, nếu miền liên tục của bài toán bị thu hẹp lại thì kết

quả của bài toán có còn đúng không?

Từ điều kiện (1.13) ta chỉ cần giả thiết

f x( )

liên tục tại một điểm

0

x 

cho trước là đủ.

Định lý 1.1. Cho hàm

f : 

thỏa mãn mãn phương trình

hàm Cauchy

f x y f x f y ( ) ( ) ( )    ,

với mọi số thực

xy,

. Khi đó tồn tại số thực

a

sao cho

f q aq ( )  ,

với mọi số hữu tỉ q.

Định lý 1.2. Cho hàm

f : 

và

g : 

là các hàm

liên tục sao cho

f q g q ( ) ( ) 

với mọi số hữu tỉ

q

. Khi đó

f x g x ( ) ( ) 

với mọi số thực

x .

Định lý 1.3. [4]. Giả sử hàm

f :  thỏa mãn phương

trình hàm Cauchy

f x y f x f y x y ( ) ( ) ( ), ,     

, (1.14)

với mọi số thực

xy,

và

f

là hàm đơn điệu tăng trên , nghĩa là

f x f y x y ( ) ( ),    .

Khi đó tồn tại một số thực a sao cho

f x a x x ( ) . ,   

,với

a  0 , x .

Chứng minh

Vì

f

là hàm Cauchy cộng tính trên nên theo chứng minh

Bài toán 1.1 ta thu được

f x ax x a f ( ) , , (1)     .

Với

0

x 

bất kì tồn tại 2 dãy

( ),( ) n n x y

thỏa mãn