Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————— o0o —————

LÊ THỊ NHUNG

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN

THỨ VỚI HÀM KÍCH HOẠT TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 04/2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————— o0o —————

LÊ THỊ NHUNG

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN

THỨ VỚI HÀM KÍCH HOẠT TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. MAI VIẾT THUẬN

Thái Nguyên, 4/2019

1

Mục lục

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6

1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi

phân phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân

thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Chương 2 Tính ổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân

thứ với hàm kích hoạt tổng quát 17

2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Tiêu chuẩn ổn định Mittag-Leffler toàn cục . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Chương 3 Tính ổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân

thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát 27

3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. Tiêu chuẩn ổn định đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2

LỜI NÓI ĐẦU

Mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc

nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O. Chua và L. Yang vào năm 1988 [7].

Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học

trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong xử lí tín

hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [3, 8, 15]. Năm 2008,

trong một nghiên cứu của mình, A. Boroomand và M.B. Menhaj [3] lần đầu

tiên mô hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo

hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi

phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân

phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính và tính

chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [3, 15]. Do đó hệ phương trình

mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà

khoa học. Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron phân

thứ đã được công bố trong những năm gần đây (xem [15, 18, 19, 27] và các tài

liệu tham khảo trong đó).

Như chúng ta đã biết, tính ổn định là một trong những tính chất cơ bản và

quan trọng của mọi hệ động lực và hệ phương trình vi phân phân thứ cũng

không là ngoại lệ. Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trình

vi phân phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa

học trong những năm gần đây (xem [2, 10, 12, 14, 17] và các tài liệu tham khảo

trong đó). Đối với lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ, một vài kết quả

thú vị và sâu sắc đã được công bố trong những năm gần đây [20, 22, 25, 26].

Bằng cách sử dụng biến đổi Laplace và sử dụng một số tính chất của đạo hàm

phân thứ Caputo, H. Wang cùng các cộng sự [20] nghiên cứu tính ổn định tiệm