Về phương trình XYZ = X+Y+Z=1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

ĐỖ THỊ HỒNG THU

VỀ PHƢƠNG TRÌNH XYZ = X + Y + Z = 1

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. NGUYỄN DUY TÂN

THÁI NGUYÊN - 2021

i

Mục lục

Mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Thặng dư toàn phương và luật thuật nghịch toàn phương . . . . . . 5

1.3 Định lý thặng dư Trung Hoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Phương trình xyz = x + y + z = 1 trên Q 10

2.1 Một số phương trình liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Phương trình xyz = x + y + z = 1 trên Q . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Mở rộng lên bộ k số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Phương trình xyz = x + y + z = 1 trên Z/mZ 19

3.1 Phương trình xyz = x + y + z = 1 trên Z/mZ . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Số nghiệm của phương trình xyz = x + y + z = 1 trên Z/pZ . . . . . 26

Kết luận 30

1

Mở đầu

Năm 1956, Werner Mnich đưa ra câu hỏi (bài toán) liệu có tồn tại ba số hữu tỷ

mà tích và tổng của chúng đều bằng 1? Nói một cách khác, liệu (hệ) phương trình

Diophantine xyz = x + y + z = 1 (1) có nghiệm hữu tỷ? Năm 1960, W. Cassels nhận

xét rằng câu hỏi này tương đương với câu hỏi liệu rằng phương trình y

2 = x

3 + (x +

4)

2

có nghiệm hữu tỷ với x 6= 0? Tiếp đó, W. Cassels sử dụng lý thuyết số đại số và

lý thuyết đường cong elliptic để chứng minh phương trình y

2 = x

3 + (x + 4)

2 không

có nghiệm hữu tỷ với x 6= 0, và qua đó giải quyết câu hỏi của W. Mnich.

Cả hai lý thuyết về số đại số và lý thuyết đường cong elliptic là lý thuyết khó

trong Toán học. Một mục đích của luận văn là tìm hiểu chứng minh sơ cấp (không

sử dụng lý thuyết đường cong elliptic) cho kết quả yếu hơn rằng phương trình y

2 =

x

3 + (x + 4)

2 không có nghiệm nguyên với x 6= 0. Ngoài ra, luận văn cũng nghiên

cứu như nghiên cứu phương trình (1) trên vành các số nguyên modulo m.

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, bố cục của luận văn được

chia làm ba chương.

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức về kết thức cần chuẩn bị,cần thiết cho các

chương sau.

Chương 2. Phương trình xyz = x + y + z = 1 trên Q

Chương này trình bày một số phát biểu tương đương với câu hỏi trên của W.

Mnich và chứng minh phương trình y

2 = x

3 + (x + 4)

2

trên không có nghiệm

nguyên.

Chương 3. Phương trình xyz = x + y + z = 1 trên Z/mZ

Chương này trình bày kết quả của Small về điều kiện tồn tại nghiệm của phương

trình xyz = x + y + z = 1 trên Z/mZ.

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành vào tháng 5 năm 2021 tại trường Đại

học Khoa học- Đại học Thái Nguyên. Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc