Về phương trình Pillai suy rộng dạng ±ra x ± sb y = c

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

ĐINH VIỆT ANH

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. TS. Trần Xuân Quý

2. TS. Đỗ Thị Phương Quỳnh

THÁI NGUYÊN - 2021

i

Mục lục

Bảng ký hiệu viết tắt ii

Mở đầu 1

Chương 1. Về phương trình Pillai 3

1.1 Phương trình Diophantine mũ và một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Một số ví dụ về phương trình Diophantine mũ . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Về phương trình Pillai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Chương 2. Số nghiệm của phương trình Pillai suy rộng dạng ±rax ±sby = c 15

2.1 Về phương trình Pillai suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Số nghiệm của phương trình Pillai suy rộng dạng ±rax ±sby = c . . . . . . . . . 17

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 42

ii

Bảng ký hiệu viết tắt

N Tập hợp các số tự nhiên

R Tập hợp các số thực

R

+ Tập hợp các số thực dương

a|b a là ước của b

gcd(a,b) Ước chung lớn nhất của a và b

a ≡ b (mod m) m|a−b

x = ordm(a) Bậc của a theo modulo m,

tức x là số nguyên dương bé nhất để a

x ≡ 1 (mod m)

1

Mở đầu

Theo tìm hiểu của chúng tôi, lớp phương trình Diophantine bậc nhất (tuyến tính) và bậc hai đã

có phương pháp giải và cũng được nhiều tài liệu giáo trình viết, thậm chí cũng đã có nhiều luận

văn khai thác chủ đề này. Tuy nhiên đối với lớp phương trình bậc cao hơn thì không có phương

pháp chung để giải (Khẳng định bởi nhà Toán học Nga M. Yuri năm 1970). Như vậy đối với lớp

phương trình Diophantine bậc hớn hai thì chỉ có thể tìm cách giải cho từng phương trình cụ thể.

Các phương pháp quen thuộc thường được sử dụng ở bậc phổ thông là sử dụng các tính chất chia

hết để thu hẹp tập nghiệm có thể, sử dụng ước lượng về độ lớn của nghiệm để thu hẹp tập hợp

các nghiệm có thể. Ngày nay, với sự hỗ trợ mạnh mẽ của máy tính, khi xác định được cận trên

của nghiệm (nếu tồn tại) thì việc chỉ ra nghiệm của phương trình không khó khăn. Vài thập kỷ

gần đây Scott và cộng sự đã có nhiều kết quả về lớp Phương trình Pillai, các tác giả tìm cách mở

rộng phương trình a

x −b

y = c (phương trình này được gọi là phương trình Diophantine Pillai hay

còn gọi là phương trình Pillai).

Các kết quả nghiên cứu của Pillai phần lớn liên quan tới Diophantine. Ví dụ, có những kết

nối sâu sắc với các bài toán Diophantine trong các công trình của ông về vấn đề Waring. Pillai

đề cập tới Diophantine sớm nhất là vào năm 1930 [7].

Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi chủ yếu thảo luận về các câu hỏi liên quan đến các kết

quả về phương trình Pillai và một số mở rộng.

Chính vì vậy, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Trần Xuân Quý và TS. Đỗ Thị Phương

Quỳnh, tôi chọn đề tài “Về phương trình Pillai suy rộng dạng ±rax ±sby = c” để thực hiện luận

văn thạc sĩ của mình. Mục đích của luận văn này là trình bày một nghiên cứu tổng hợp các kết

quả về số nghiệm của phương trình Pillai theo thứ tự lịch sử và trình bày kết quả của Scott và

Styer trong [18] cho phương trình Pillai tổng quát.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài gồm 2 chương, cụ thể:

Chương 1. Về phương trình Pillai

Trình bày được lời giải cho một số ví dụ cụ thể cho phương trinh Diophantine Pillai sử dụng

tính chất chia hết, tính chất đồng dư... Trình bày về dạng tuyến tính loga, đây là công cụ để xác

định cận trên của nghiệm phương trình Pillai.

Chương 2. Số nghiệm của phương trình Pillai suy rộng dạng ±rax ±sby = c