Về phương trình Diophantine dạng Ax2-Bx2=C

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

LƢƠNG THỊ MAI ANH

VỀ PHƢƠNG TRÌNH

DIOPHANTINE DẠNG Ax

2

- By

2= C

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

LƢƠNG THỊ MAI ANH

VỀ PHƢƠNG TRÌNH

DIOPHANTINE DẠNG Ax

2

- By

2 = C

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

(Xác nhận)

PGS.TS. Nông Quốc Chinh

THÁI NGUYÊN - 2018

Mục lục

Mở đầu 2

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Liên phân số hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Liên phân số vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Liên phân số vô hạn tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . 9

Chương 2. Về phương trình Diophantine bậc 2 dạng Ax2 −

By2 = C 12

2.1 Phương trình Diophantine x

2 − Dy2 = N . . . . . . . . . . 12

2.2 Phương trình Diophantine dạng Ax2 − By2 = C . . . . . . 16

2.3 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 41

2

Mở đầu

Số học là một bộ môn toán học có đối tượng nghiên cứu là các số

nguyên. Không có gì đơn giản và quen thuộc hơn đối với chúng ta là các số

nguyên. Ngày nay, với sự phát triển của khoa học và công nghệ, đặc biệt là

công nghệ số hóa, đã đòi hỏi con người không ngừng nghiên cứu và khám

phá các quy luật, các thuật giải cho các bài toán liên quan tới số nguyên.

Bao hàm trong mảng số học, là giải phương trình nghiệm nguyên hay còn

gọi là phương trình Diophantine. Lớp phương trình này còn tồn tại nhiều

bài toán, giả thuyết chưa có câu trả lời. Nó luôn là vấn đề thu hút được

nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu và tìm hiểu. Chính việc đi tìm

lời giải cho các bài toán hay chứng minh các giả thuyết về phương trình

Diophantine đã làm nảy sinh các lý thuyết, phương pháp khác của Toán

học. Lớp bài toán liên quan tới phương trình Diophantine không có quy

tắc giải tổng quát, hoặc nếu có cũng chỉ là đối với các dạng đơn giản. Đó

cũng là nguyên nhân để lớp phương trình này thu hút sự khám phá nghiên

cứu của các nhà Toán học. Trong hầu hết các kỳ thi quan trọng như thi

học sinh giỏi Toán quốc gia, Quốc tế,... các bài toán liên quan đến phương

trình Diophantine thường xuyên được sử dụng để đánh giá học sinh.

Do đó, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nông Quốc Chinh,

tôi đã chọn hướng đề tài luận văn của mình liên quan tới lớp phương trình

Diopantine này. Cụ thể là nghiên cứu về tính chất nghiệm và mối liên hệ

của phương trình Diophantine dạng Ax2−By2 = C với biểu diễn liên phân

số liên tục.