Về một số lớp bất phương trình hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐINH THÁNH ĐUA

VỀ MỘT SỐ LỚP

BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐINH THÁNH ĐUA

VỀ MỘT SỐ LỚP

BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. TRỊNH ĐÀO CHIẾN

Đà Nẵng - Năm 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Trịnh Đào Chiến, luận văn

“Về một số lớp bất phương trình hàm” được hoàn thành, không trùng với bất kì

luận văn nào khác.

Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà

khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2016

Tác giả luận văn

Đinh Thánh Đua

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ...............................................................................................................1

1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................1

2. Mục tiêu nghiên cứu .......................................................................................2

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ..................................................................2

4. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................2

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài........................................................2

6. Cấu trúc luận văn ............................................................................................3

CHƢƠNG 1. MỘT SỐ DẠNG BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM ......................4

1.1. BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM NHIỀU BIẾN TỰ DO ..............................4

1.2. BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN SỐ .......................................43

CHƢƠNG 2. MỘT SỐ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM DẠNG TUYẾN

TÍNH....................................................................................................................52

CHƢƠNG 3. MỘT SỐ BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ

NGUYÊN.............................................................................................................68

KẾT LUẬN.........................................................................................................74

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................75

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Cùng với phƣơng trình hàm, bất phƣơng trình hàm là dạng toán thƣờng có

mặt trong các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp và Olympic toán quốc tế. Đây là

những dạng toán thƣờng là rất khó.

Những dạng toán tìm các hàm số thỏa mãn những bất đẳng thức hàm cho

trƣớc đƣợc xem là những bài toán giải bất phƣơng trình hàm.

Lý thuyết và các bài giảng về bất phƣơng trình hàm sẽ đƣợc đề cập sâu

hơn ở các giáo trình cơ bản bậc đại học. Tuy nhiên, các tài liệu về bất phƣơng

trình hàm nhƣ là một chuyên đề chọn lọc cho giáo viên và học sinh chuyên toán

bậc trung học phổ thông, ngoài tài liệu [3], vẫn chƣa có nhiều, còn chƣa đƣợc hệ

thống theo dạng toán cũng nhƣ phƣơng pháp giải.

Năm 2011, luận văn thạc sĩ [2] (cùng ngƣời hƣớng dẫn khoa học luận văn

này) đã đƣợc bảo vệ, chủ yếu đề cập đến một số dạng bất phƣơng trình hàm cơ

bản, tƣơng tự nhƣ những dạng phƣơng trình hàm Cauchy. Nhiều dạng toán tổng

hợp khác, liên quan đến bất phƣơng trình hàm chƣa đƣợc đề cập. Luận văn [2]

cũng chƣa khảo sát các dạng toán liên quan trên tập số nguyên.

Tiếp nối hƣớng nghiên cứu ấy, luận văn này tiếp tục khai thác các dạng

tổng hợp khác của các bài toán giải bất phƣơng trình hàm. Các dạng toán liên

quan trên tập số nguyên cũng sẽ đƣợc luận văn nghiên cứu. Nhiều phƣơng pháp

giải các bài toán khó trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và Olympic Toán

quốc tế đã đƣợc đề cập. Luận văn có thể là một tài liệu tham khảo cho giáo viên

và học sinh phổ thông.

2

Do đó, đề tài là có cơ sở khoa học và mang tính thực tiễn đối với chƣơng

trình toán học phổ thông, đặc biệt đối với hệ Chuyên Toán, phù hợp với chuyên

ngành Phƣơng pháp Toán sơ cấp.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Đề tài sẽ đề cập đến một số lớp bất phƣơng trình hàm trên tập số thực và

trên tập số nguyên, cùng với những áp dụng của chúng trong việc giải nhiều

dạng toán khó, thƣờng xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và

Olympic Toán quốc tế. Nhiều dạng toán và các phƣơng pháp giải khác nhau sẽ

đƣợc trình bày trong luận văn.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tƣợng nghiên cứu

Một số lớp bất phƣơng trình hàm trên tập số thực và tập số nguyên.

3.2. Phạm vi nghiên cứu

Thuộc chuyên ngành Phƣơng pháp toán sơ cấp.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

Từ các tài liệu sƣu tầm đƣợc, dƣới sự định hƣớng của ngƣời hƣớng dẫn

khoa học, luận văn sẽ đề cập đến một số lớp bất phƣơng trình hàm trên tập số

thực và trên tập số nguyên, cùng với những áp dụng của chúng.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Với mục đích nghiên cứu nêu trên, việc nghiên cứu của luận văn là có ý

nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn và phù hợp với chuyên ngành Phƣơng pháp

Toán sơ cấp.

Có thể sử dụng luận văn nhƣ là tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh

và bạn đọc quan tâm đến công tác bồi dƣỡng học sinh giỏi.

3

6. Cấu trúc luận văn

Với mục đích nêu trên, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo

theo quy định, nội dung chính của luận văn đƣợc chia thành 3 chƣơng sau đây:

Chƣơng 1: Một số dạng bất phƣơng trình hàm

Nội dung chƣơng này chủ yếu đề cập đến một số dạng bất phƣơng trình

hàm một biến và nhiều biến tự do, cùng một số định lý và hệ quả có liên quan, áp

dụng cho việc giải các bài tập cụ thể.

Chƣơng 2: Một số hệ bất phƣơng trình hàm dạng tuyến tính

Chƣơng này ta chủ yếu trình bày các định lý và hệ quả liên quan, đƣợc xem

nhƣ những bài tập dạng tổng quát của hệ bất phƣơng trình hàm tuyến tính, từ đó

có thể giải đƣợc các bài tập cụ thể.

Chƣơng 3: Một số bất phƣơng trình hàm trên tập số nguyên

Nội dung của chƣơng này là trình bày một số bài toán trên tập số nguyên và

các phƣơng pháp giải đặc trƣng trên tập số nguyên.

4

CHƢƠNG 1

MỘT SỐ DẠNG BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM

Nội dung chƣơng này chủ yếu đề cập đến một số dạng bất phƣơng trình hàm

nhiều biến tự do và các bài toán về bất phƣơng trình hàm một biến số.

1.1. BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM NHIỀU BIẾN TỰ DO

Phương pháp chung: Sử dụng bảng đặc trƣng hàm, tìm dạng của nó, sau đó

đƣa ra phƣơng pháp giải.

Bài toán 1.1. Xác định các hàm số

f x( )

thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

(i)

f x y f x f y ( ) ( ) ( )    ,   x y , 

;

(ii)

f x   0,  x .

Giải:

Từ các điều kiện của bài toán, thay

x y   0

ta thu đƣợc

f f 0 2 0    

và

f 0 0  

. Do đó

f 0 0   .

Vậy nên 0 0 0         f f x x f x f x          .

Suy ra

f x   0

. Thử lại, ta thấy hàm số

f x   0

thỏa mãn điều kiện bài ra.

Bài toán 1.2. Cho trước

a

. Xác định các hàm số

f x 

thỏa mãn đồng thời

các điều kiện sau:

(i)

f x y f x f y         ,   x y , 

;

(ii)

f x ax    ,  x .

Giải:

Xét hàm số

g x ax   

. Để ý rằng

g x y g x g y         .

Đặt

f x g x h x        

. Khi đó, ta thu đƣợc các điều kiện

(i)

h x y h x h y         ,   x y , 

;

(ii)

h x   0,  x .

Theo Bài toán 1.1, ta có

h x   0

hay

f x ax    . Thử lại thấy thỏa mãn.

5

Bài toán 1.3. Cho trước

a  0

. Xác định các hàm số

f x 

thỏa mãn đồng thời

các điều kiện sau:

(i)

f x y f x f y       ,   x y , 

;

(ii)

 

x

f x a  ,  x .

Giải:

Nhận xét rằng

f x   0

với mọi

x

. Vậy ta có thể logarit hóa hai vế các bất

đẳng thức của điều kiện đã cho

(i)

ln ln ln f x y f x f y         ,   x y , 

;

(ii)

ln ln f x a x      ,  x .

Đặt

ln ( ) ( ) f x x 

, ta thu đƣợc

(i)

    x y x y        ,   x y , 

;

(ii)

 x a x   ln  ,  x .

Ta nhận đƣợc dạng của Bài toán 1.2.

Vậy

 x a x   ln 

. Suy ra

 

x

f x a  .

Thử lại, ta thấy hàm số

 

x

f x a 

thỏa mãn điều kiện bài ra.

Nhận xét rằng, các bài toán trên vẫn giải đƣợc nếu tập xác định



của các hàm

số trên đƣợc thay bởi một khoảng mở

U

chứa

0

sao cho với mọi

x y U , 

thì

x y U   .

Một câu hỏi tự nhiên đƣợc đặt ra: Trong Bài toán 1.3, có thể thay hàm số

 

x

g x a 

bởi hàm số nào để bài toán cũng có nghiệm không tầm thƣờng ?

Nhận xét rằng

- Với

0 1   a

thì

1

x

a x   ,  x 0

và

1

x

a x   ,  x 0

;

- Với

a 1

thì

1

x

a x   ,  x 0

;

1

x

a x   ,  x 0;1

;

1

x

a x   ,  x 1.

Từ đó, một cách tự nhiên, tiếp theo ta xét hàm số

g x x    1.

6

Từ đây về sau, ta luôn giả sử

U

là khoảng mở chứa

0

sao cho với mọi

x y U , 

thì

x y U  

. Chẳng hạn

U

là các tập sau:

U  

(tập các số thực) ;

U  

(tập các số hữu tỉ) ;

U x x      0

;

U x x      0.

Bài toán 1.4. Xác định các hàm số

f U: 

thỏa mãn đồng thời các điều kiện

sau:

(i)

f x y f x f y       ,   x y U ,

;

(ii)

f x x    1 ,  x U .

Giải:

Bởi (i), ta có

 

2

0

2 2 2

x x x f x f f                

, x U .

Nếu

f x 0   0

, thì

 

0 0 0 2

0

0

2 2 2

x x x f x f f                

.

Do đó

0 0

2

x

f

    

 

. Quy nạp, ta có

0 0

2

x

f

n

    

 

với mỗi số nguyên dƣơng

n .

Tuy nhiên, từ (ii) suy ra rằng

f x   0

với mọi

x U

và

x

gần

0.

Do đó điều trên là mâu thuẫn.

Vậy

f x   0, x U .

Tiếp theo, từ (i) và (ii), ta sẽ thấy rằng

f

khả vi tại mỗi điểm

x U

và

f x f x '    .