Về một số hệ phương trình đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

TRẦN THỊ THU THỦY

VỀ MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

TRẦN THỊ THU THỦY

VỀ MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Trần Nguyên An

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1. Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Hệ thuần nhất với định thức khác không . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Sử dụng tính chất nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Sử dụng công thức nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Sử dụng ma trận, định thức đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Sử dụng các phương pháp biến đổi sơ cấp trên hệ . . . . . . . . 11

1.6. Hệ với yếu tố thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Chương 2. Hệ phương trình đa thức không tuyến tính 20

2.1. Một số hệ và phương pháp giải cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1. Hệ phương trình đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.2. Hệ phương trình đối xứng loại hai đối với x và y . . . . . 23

2.1.3. Hệ có yếu tố đẳng cấp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.4. Hệ có hai phương trình bán đẳng cấp bậc hai. . . . . . . . . 25

2.1.5. Hệ đẳng cấp bộ phận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.6. Hệ bậc hai tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

ii

2.2. Ứng dụng của hệ không tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1. Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3. Ứng dụng của đại số máy tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1. Thứ tự từ và cơ sở Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.2. Giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

iii

MỞ ĐẦU

Giải hệ phương trình là bài toán cổ điển có nhiều ứng dụng trong toán học

cũng như trong đời sống. Hệ phương trình có rất nhiều dạng và phương pháp giải

khác nhau. Đây cũng là dạng toán thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi cũng

như các kì thi tuyển sinh đại học. Luận văn tìm hiểu về một số lớp hệ phương trình

đa thức: hệ phương trình tuyến tính, hệ phương trình đa thức không tuyến tính. Cụ

thể, luận văn tìm hiểu một số lớp hệ phương trình tuyến tính đặc biệt sử dụng công

cụ ma trận, định thức và một số phương pháp đặc biệt để giải. Hệ phương trình đa

thức không tuyến tính là một bài toán khó, bên cạnh việc giới thiệu phương pháp

tổng quát để giải bằng công cụ Đại số máy tính, luận văn tìm hiểu một số lớp hệ

phương trình đa thức đặc biệt giải bằng công cụ sơ cấp.

Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1 giới thiệu về hệ phương trình

tuyến tính. Luận văn không lặp lại như một cuốn Đại số tuyến tính thông thường

mà giới thiệu nhiều dạng hệ phương trình tuyến tính "không mẫu mực”. Hệ phương

trình tuyến tính là bài toán có lời giải trọn vẹn và có nhiều ứng dụng trong thực

tế. Chương 2 của luận văn trình bày về hệ phương trình đa thức không tuyến tính.

Luận văn phân tích một số dạng hệ giải quyết được bằng công cụ sơ cấp. Nhiều ví

dụ được phân tích kỹ nhằm giúp người đọc có công cụ sáng tác bài toán mới. Để

tìm hiểu một hệ tổng quát người ta phải dùng đến công cụ của Đại số máy tính,

Hình học đại số. Luận văn phân tích việc sử dụng cơ sở Groebner để giải quyết một

số lớp hệ có hữu hạn nghiệm. Nhằm giảm tải nội dung trình bày luận văn không

đi sâu phân tích lý thuyết về cơ sở Groebner mà hướng người đọc đến việc sử dụng

máy tính để tính toán bằng việc hướng dẫn sử dụng phần mềm CocoA và Maple.

Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ

tận tình của TS. Trần Nguyên An. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

thầy.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin, Trường Đại

học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, các giáo sư của trường Đại học Khoa học Tự

nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá

trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học.

Tôi xin chân thành cảm ơn các anh chị và bạn bè đồng nghiệp trong lớp Cao

học Toán K9B2 đã luôn giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017,

Trần Thị Thu Thủy

1