Về một số bất đẳng thức tích phân trong giải tích lượng tử

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

NGUYỄN THỊ THU HUẾ

VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

TRONG GIẢI TÍCH LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Mai Viết Thuận

THÁI NGUYÊN - 2020

1

Mục lục

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5

1.1. q−đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. q−tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1. q−nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2. Tích phân Jackson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.3. Định nghĩa và một số tính chất của q−tích phân . . . . . 15

1.3. q−tích phân chặt (restricted definite q−integral) . . . . . . . . . 18

Chương 2 Một số bất đẳng thức tích phân trong giải tích lượng

tử 21

2.1. Bất đẳng thức q−Steffensen và một số áp dụng . . . . . . . . . 21

2.2. Bất đẳng thức q−Gr¨uss và một số áp dụng . . . . . . . . . . . . 36

2.3. Bất đẳng thức q−Chebyshev và một số áp dụng của nó . . . . . 40

2.4. Bất đẳng thức q−Hermite-Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . 44

2

LỜI NÓI ĐẦU

Bất đẳng thức tích phân là một chủ đề hay và khó trong toán học. Một số

bất đẳng thức tích phân nổi tiếng và quan trọng có thể kể đến ở đây là bất đẳng

thức Steffensen được J.F. Steffensen giới thiệu vào năm 1918, bất đẳng thức

Iyengar được K.S.K Iyengar đưa ra vào năm 1938 trong bài báo “Note on an

inequality” trên tạp chí “Math. Student”, bất đẳng thức Gr¨uss được nhà toán

học G. Gr¨uss công bố vào năm 1935, bất đẳng thức Hermite-Hadamard được

công bố bởi Hermite-Hadamard vào những năm 1891. Những bất đẳng thức

trên đã nhận được quan tâm nghiên cứu và mở rộng của nhiều nhà toán học

trên thế giới (xem các tài liệu [7, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23]

và các tài liệu tham khảo trong các tài liệu đó). Theo như hiểu biết của chúng

tôi, đã có một số luận văn thạc sĩ chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp trình

bày về bất đẳng thức tích phân [5], trong đó bất đẳng thức Hermite-Hadamard

nhận được sự quan tâm hơn cả [1, 2, 3, 4, 6]. Chẳng hạn, H.T.Q. Liên [1] trình

bày bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho hàm lồi khả vi. Các bất đẳng

thức dạng Hermite-Hadamard cho hàm r−lồi, lớp hàm mở rộng của hàm lồi,

được trình bày trong luận văn thạc sĩ toán học chuyên ngành Phương pháp

Toán sơ cấp bởi C.T.N. Mai. Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard-Fejér

cho hàm p−lồi và tiền lồi bất biến được trình bày trong các tài liệu [3] và [6].

Chú ý rằng các kết quả trên áp dụng cho một số lớp hàm lồi khả vi theo nghĩa

thông thường và tích phân là khả tích Riemann. Tuy nhiên, việc áp dụng các

kết quả đó vào lập trình tính toán trên máy tính, ta phải xấp xỉ đạo hàm và

tích phân bằng các phương pháp thích hợp. Điều này sẽ dẫn đến sai số trong

khi lập trình. Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu có cách nào định nghĩa đạo

hàm mà không cần lấy giới hạn. Một trong những câu trả lời đó chính là khái

3

niệm q−đạo hàm được đề xuất đầu tiên bởi Euler (1707-1783) và được trình

bày một cách hệ thống trong cuốn sách chuyên khảo “Quantum Calculus” của

V. Kac và P. Cheung.

Xét biểu thức dưới đây

f(x) − f(x0)

x − x0

. (0.1)

Khi cho x tiến tới x0, nếu giới hạn này tồn tại thì ta thu được đạo hàm của

hàm f(x) tại điểm x0 và được ký hiệu là df(x0)

dx . Tuy nhiên nếu cho x = qx0 hoặc

x = x0+h, trong đó q là một số cố định khác 1, h là một số cố định khác không

và không lấy giới hạn ta sẽ thu được định nghĩa của q−đạo hàm (q−derivative)

hoặc h−đạo hàm (h−derivative) của hàm f(x) tại điểm x0. Trong cuốn sách

chuyên khảo “Quantum Calculus” (Giải tích lượng tử) [14], các tác giả đã trình

bày một cách hệ thống các định nghĩa và một số tính chất về q−đạo hàm,

h−đạo hàm và q−tích phân. Những năm gần đây, giải tích lượng tử đã nhận

được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học vì những ứng dụng của

nó trong vật lý [11, 18, 21, 22]. Ngoài ra, nhiều bất đẳng thức tích phân quan

trọng cũng được các nhà khoa học nghiên cứu và đề xuất trong các công bố

gần đây trên các tạp chí quốc tế uy tín [21, 22].

Luận văn trình bày một số bất đẳng thức tích phân như bất đẳng thức Stef￾fensen, bất đẳng thức Iyengar, bất đẳng thức Gr¨uss, bất đẳng thức Chebyshev

và bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard trên cơ sở đọc hiểu và trình bày lại

một cách hệ thống kết quả của H. Gauchman [11]. Luận văn gồm có 2 chương

gồm những nội dung sau:

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm và các tính chất quan

trọng của q−đạo hàm, q−tích phân và q−tích phân chặt.

Trong Chương 2, chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức tích phân quan

trọng như bất đẳng thức Steffensen, bất đẳng thức Iyengar, bất đẳng thức

Gr¨uss, bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard

cho q−đạo hàm và q−tích phân chặt. Ngoài việc đọc hiểu và trình bày lại một

cách hệ thống kết quả của H. Gauchman, chúng tôi còn sửa một số lỗi trong

kết quả này. Có thể nói đấy là một đóng góp mới của luận văn.

4

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học – Đại học Thái

Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Mai Viết Thuận. Tôi xin

được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học

của mình. Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn,

tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học – Đại

học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin cùng các giảng viên đã

tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên

cứu.

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những người

bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên

cứu. Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa

học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực

hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin

chân thành cảm ơn.