Ứng dụng số phức trong việc nghiên cứu Toán sơ cấp

§¹i Häc Th¸i Nguyªn

Tr­êng §¹i Häc Khoa Häc

NguyÔn H÷u Thanh

øng dùng sè phøc

trong viÖc nghiªn cøu to¸n s¬ cÊp

Chuyªn ngµnh : Ph­¬ng Ph¸p To¸n S¬ CÊp

M· sè: 60.46.40

LuËn V¨n Th¹c SÜ To¸n Häc

Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: PGS.TS. §µm V¨n NhØ

Th¸i Nguyªn - 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

C«ng tr×nh ®­îc hoµn thµnh t¹i

Tr­êng §¹i Häc Khoa Häc - §¹i Häc Th¸i Nguyªn

Ph¶n biÖn 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ph¶n biÖn 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LuËn v¨n sÏ ®­îc b¶o vÖ tr­íc héi ®ång chÊm luËn v¨n häp t¹i:

Tr­êng §¹i Häc Khoa Häc - §¹i Häc Th¸i Nguyªn

Ngµy 22 th¸ng 11 n¨m 2011

Cã thÓ t×m hiÓu t¹i

Th­ ViÖn §¹i Häc Th¸i Nguyªn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Môc lôc

1 Sè phøc 4

1.1 Kh¸i niÖm sè phøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 TÝnh ®ãng ®¹i sè cña tr­êng C . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 VËn dông sè phøc trong §¹i sè, Sè häc vµ L­îng gi¸c 15

2.1 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 TÝnh chia hÕt cña mét vµi ®a thøc ®Æc biÖt . . . . . . . . . . . 21

2.3 ChuyÓn bµi to¸n trªn Z thµnh bµi to¸n trªn C . . . . . . . . . . 26

2.4 Sö dông sè phøc trong L­îng gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 VËn dông sè phøc trong H×nh häc 46

3.1 Sö dông sè phøc cho phÐp quay . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 §­êng th¼ng trong mÆt ph¼ng phøc. . . . . . . . . . . . . . . . 52

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Më ®Çu

Do tr­êng sè phøc C lµ mét tr­êng ®ãng ®¹i sè, §Þnh lý cña d'Alembert￾Gauss, nªn mäi ®a thøc bËc d­¬ng trong C[x] ®Òu cã nghiÖm. Sö dông kÕt

qu¶ nµy mµ khi gi¶i nh÷ng bµi to¸n liªn quan ®Õn mét ®a thøc thuéc R[x],

kh«ng tÝnh ®­îc nghiÖm trong R, ng­êi ta th­êng xÐt nh÷ng bµi to¸n ®ã trªn

C. VÒ mÆt h×nh häc, ta cã thÓ coi mçi sè phøc nh­ mét vÐct¬ ®Ó viÖc biÓu

diÔn mét sè yÕu tè sÏ ®¬n gi¶n ®i. H¬n n÷a, viÖc sö dông sè phøc trong Sè

häc, §¹i sè, H×nh häc vµ L­îng gi¸c ®· tá ra cã rÊt nhiÒu thuËn lîi vµ trong

ch­¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng cÊp THPT ®· ®­a phÇn sè phøc vµo ch­¬ng

tr×nh To¸n líp 12. ChÝnh v× nh÷ng lý do nh­ vËy mµ luËn v¨n nµy tËp trung

tr×nh bµy nh÷ng kÕt qu¶ c¬ b¶n vÒ sè phøc liªn quan ®Õn To¸n s¬ cÊp.

LuËn v¨n gåm ba ch­¬ng:

Ch­¬ng 1 : Tr×nh bµy nh÷ng kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n cña sè phøc.

KÕt qu¶ chÝnh ë ®©y lµ viÖc chøng minh l¹i cho §Þnh lý c¬ b¶n cña §¹i sè.

Ch­¬ng 2: Giíi thiÖu viÖc vËn dông sè phøc trong §¹i sè, Sè häc vµ

L­îng gi¸c. Trong ch­¬ng nµy chóng t«i giíi thiÖu 4 vËn dông cña sè phøc:

VËn dông ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh tÝch c¸c nh©n tö bÊt kh¶ qui; VËn dông

vµo tÝnh chia hÕt cña mét vµi ®a thøc ®Æc biÖt; VËn dông trong viÖc chuyÓn

bµi to¸n trªn Z thµnh bµi to¸n trªn C; VËn dông trong l­îng gi¸c .

Ch­¬ng 3: Tr×nh bµy viÖc vËn dông sè phøc ®Ó biÓu diÔn phÐp quay vµ

ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng trong ®ã chøng minh l¹i mét sè bµi to¸n h×nh häc

nh­ : §Þnh lý Menelaus, §Þnh lý CÐva, ®­êng th¼ng Simpson,... .

LuËn v¨n ®­îc hoµn thµnh d­íi sù h­íng dÉn vµ chØ b¶o tËn t×nh cña

PGS.TS §µm V¨n NhØ - §¹i häc S­ Ph¹m Hµ Néi. ThÇy ®· dµnh nhiÒu thêi

gian h­íng dÉn vµ gi¶i ®¸p c¸c th¾c m¾c cña t¸c gi¶ trong suèt qu¸ tr×nh lµm

luËn v¨n. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn ThÇy.

T¸c gi¶ xin göi tíi c¸c thÇy (c«) khoa To¸n, phßng §µo t¹o Tr­êng §¹i

Häc Khoa Häc - §¹i Häc Th¸i Nguyªn, cïng c¸c thÇy c« tham gia gi¶ng

d¹y khãa Cao häc 2009-2011 lêi c¶m ¬n s©u s¾c vÒ c«ng lao d¹y dç trong

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

thêi gian qua. §ång thêi xin göi lêi c¶m ¬n tËp thÓ líp Cao häc To¸n K3B

Tr­êng §¹i Häc Khoa Häc ®· ®éng viªn gióp ®ì t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh häc

tËp vµ lµm luËn v¨n nµy.

T¸c gi¶ xin c¶m ¬n tíi Së Néi Vô, Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o B¾c Ninh, Ban

gi¸m hiÖu vµ tæ To¸n tr­êng THPT ThuËn Thµnh sè 1 ®· t¹o ®iÒu kiÖn gióp

®ì ®Ó t¸c gi¶ hoµn thµnh khãa häc nµy.

Tuy nhiªn, do sù hiÓu biÕt cña b¶n th©n vµ khu«n khæ thêi gian, ch¾c ch¾n

r»ng trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt, t¸c gi¶ rÊt

mong nhËn ®­îc sù chØ b¶o vµ ®ãng gãp ý kiÕn cña quÝ thÇy (c«) vµ ®éc gi¶

quan t©m tíi luËn v¨n nµy.

T¸c gi¶

NguyÔn H÷u Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Ch­¬ng 1

Sè phøc

Ch­¬ng nµy tr×nh bµy nh÷ng kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n vÒ sè phøc. §Æc

biÖt lµ viÖc chøng minh l¹i ®Þnh lý c¬ b¶n cña ®¹i sè. Ch­¬ng nµy tham kh¶o

c¸c tµi liÖu [2],[3],[5].

1.1 Kh¸i niÖm sè phøc

Mét vµi kh¸i niÖm c¬ b¶n

XÐt TÝch Descartes T = R×R = {(a, b)|a, b ∈ R} vµ ®Þnh nghÜa phÐp to¸n:

(a, b) = (c, d) khi vµ chØ khi a = c, b = d

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) . (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

§Ó ®¬n gi¶n, viÕt (a, b).(c, d) qua (a, b)(c, d). Tõ ®Þnh nghÜa cña phÐp nh©n:

(i) Víi i = (0, 1) ∈ T cã i

2 = i.i = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0)

(ii) (a, b)(1, 0) = (1, 0)(a, b) = (a, b)

(iii) (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1), ∀ (a, b) ∈ T.

Bæ ®Ò 1.1.1. A´nh x¹ φ : R → T, a 7→ (a, 0), lµ mét ®¬n ¸nh vµ tháa m·n

φ(a + a

0

) = φ(a) + φ(a

0

), φ(aa0

) = φ(a)φ(a

0

) víi mäi a, a0 ∈ R.

§ång nhÊt (a, 0) ∈ T víi a ∈ R. Khi ®ã cã thÓ viÕt (a, b) = (a, 0) +

(b, 0)(0, 1) = a + bi víi i

2 = (−1, 0) = −1.

4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn